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重庆突下暴雨，大家都挤在一把大伞下面躲雨。男女老少脸上都带着温暖的笑容，一把伞，感觉像是撑起了城市夜色里的小温馨！

之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是

、

两个任意实数，外加虚数

，把它们结合在一起，就完成了：

但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：

我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。—- 约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白：

0 的出现就是数学的奇点：

根据皮亚诺定理（可以参考为什么 1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含 0？）：

很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：

添加负数之后，有一个问题就出现了：

我们知道

是对

的缩写，并且容易推出如下计算规则：

我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：

更一般的有：

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：

来填满这些空隙（示意图）：

还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：

自然会有这么一个问题：

是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。如果比较了解复数的运算法则了，可以跳到第三节去阅读。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果

、

，可以得到方程：

从图像上看，

与

有三个交点的：

套用通解会得到：

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量

有：

复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（

），纵坐标是虚轴（

），下图还把刚才的符号给标了出来：

加法的几何意义和向量也一样：

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则，计算可得：

画出来发现，两者是正交的：

还可以从另外一个角度来理解这一点，

在复平面上是这样的：

那么，

乘以虚数

，就是：

对于一般的向量

，也符合这个规律：

好了，知道这些差不多了，开始正题。

3 复数域的扩张

好了，轮到复数域了，复数定义为：

那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：

这个问题可以用欧拉公式：

来回答，取

，可得：

画出来就是复平面上模长为 1，幅角也为 1 的点：

更一般的，欧拉公式说明，

是单位圆上幅角为

的点：

但是，欧拉公式

长这个样子！

3.1

的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的

函数，起码有三种定义方式：

• 极限的方式：

• 泰勒公式的方式：

• 导数的方式：

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为：

我们可以大胆地令

：

那么之前的

就等于：

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为

对应的是单位圆上幅角为

的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为

：

然后取

，可以得到：

根据复数的乘法规则，可以看出：

取

：

取

，已经很接近单位圆上幅角为 1 的点了：

对于更一般的

也是同样的：

当

时，就很接近单位圆上幅角为

的点了：

可以证明当

时，

为单位圆上幅角为

的点，也就是得到了欧拉公式：

可能你还会问，直接替换

为

，合理吗：

这里是理解欧拉公式的

，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义

。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以

”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下，有这些泰勒公式：

也是直接替换

，令

有：

这也有漂亮的几何意义，看看

的前三项：

这是三个复数相加，加出来就是：

再增加第四项

：

随着

，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为

的点。对于更一般的

也是类似的螺旋：

3.1.3 导数的方式

实数域有；

直接套用：

假设

是时间，那么

是运动在复平面上的点的位移函数，

时位置为

：

的运动速度，也就是导数

。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于

（根据乘法规则，乘以

表示旋转

）：

并且不论

等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：

而速度的大小就是速度的模长

。之前说了，对于两个复数

，它们的模长为

，那么：

肯定等于 1 了，

在单位圆上运动，所以模长也为 1，所以速度的大小为：

速度大小为 1 意味着

时刻走了

长度的路程。而

在单位圆上运动，那么

时刻运动了

弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为

：

4 总结

有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：

其中：

个人觉得

只是复数的初始形态，而

才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：

那么有：

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：

到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中，如果取

，就得到了欧拉恒等式：

这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的

、

、

、

、

，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。

最新版本（可能有后继更新）：欧拉公式，复数域的成人礼

更多内容推荐马同学图解数学系列

米切尔·费根鲍姆（图片来源：Flickr）

 

40 多年前的洛斯阿拉莫斯国家实验室，一位助手对一类数列的研究引起了轰动，因为它涉及了大自然的核心的秘密：从这个数列中，可以发现大自然中一个基本的无量纲常数——4.6692……。这个常数像圆周率一样，充满了神秘的未知，也引领着科学的发展。

 

撰文 | 张华

 

国家实验室的“小助手”

 

米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944 年出生在美国费城。第二次世界大战结束后，费根鲍姆一家迁回纽约布鲁克林居住。他的父亲在纽约港务局工作，母亲在公立学校教书。

在少年时代，费根鲍姆对电气工程师产生了朦胧的兴趣，因为他了解到电气工程师可以研究收音机，而且收入很高。因此，高中时的他选择了纽约市立大学的电气工程专业。不过，他上了大学才明白，自己渴望了解的收音机知识“只不过是物理学的一小部分”。

所以，1964 年从纽约市立大学毕业后，费根鲍姆进入麻省理工学院攻读粒子物理学的博士学位。1970 年，费根鲍姆获得物理学的博士学位，但这时，费根鲍姆对物理学的兴趣也有所转移，他开始喜欢上了数学——严格来说，他希望用当时还比较罕见的计算机来算一些数字。在他之前，已经有一位叫洛伦兹的物理学家利用计算机做天气预报，计算机编程也开始成为科学研究的手段。洛伦兹首次在微分方程组中发现了“混沌现象”的代表——蝴蝶效应。

博士毕业后，费根鲍姆进入了康奈尔大学，但因为他很少发表论文，看起来物理研究做得很一般。1972 年，费根鲍姆来到弗吉尼亚理工学院，一边教书一边思考自己感兴趣的数学问题。这时的他有点“非主流”——当时粒子物理学家的“主流”工作是，面对加速器对撞机不断生成的粒子数据，研究标准模型、解释强相互作用与弱相互作用的本质。1974 年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手。

费根鲍姆只在洛斯阿拉莫斯实验室谋到一个助手的职位。虽然地位不高、工资也不高，但费根鲍姆可以用那里的计算机做科学计算。对他来说，这已经足够了。

利用计算机，他发现了数学物理中的一个很深邃的常数，相当于“发现了一个新的圆周率”，这一举奠定了自己在数学物理界的宗师地位。有人甚至预测，他可能因为这一贡献而获得诺贝尔奖。

 

抛物线映射

 

为了理解费根鲍姆的发现，我们需要从数列的周期说起。

最简单的周期性数列可以很任意，比如以下数列：

1，2，1，2，1，2 ……

当然，还有一些数列的周期性则要复杂的多，也要有趣得多。

 

比如费根鲍姆研究的数列：

也可以表现出周期性，而且随着参数 b 的不断增加，它表现出来的周期性会不断增加，会从二周期变成四周期，然后变成八周期……

这个数列在数学或者物理学上被叫做“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射”。

为了方便理解，我们假设这个数列的第一项是一个比 1 小的正数。前面已经说到，这个映射其实可以看成是一个抛物线映射，因为后一项与前一项的关系满足抛物线的方程。

所以，这里的关键问题是，常数 b 等于多少——b 的数值是任意的，但做数值计算时，必须首先设定这个参数。

费根鲍姆固定了不同的参数 b，利用计算机算这个数列的后续项。很容易看出，当常数 b 选择到一些特定的数字时，经过多次迭代，整个数列最后会收敛到一个“不动点”。即当 n 较大时，数列中的后续项变成了：

这相当于，这个不动点是抛物线方程的一个根。不动点其实就是“周期 1”（周期为 1）。

随后，费根鲍姆继续调整参数 b。

他发现，当 b 增大到 3 的时候，系统的不动点就消失了，而是出现了周期 2 分叉，最后稳定下来的情况是 xn 在两个值之间跳来跳去。

随后，费根鲍姆继续调整参数 b，让 b 继续增大。当 b 增加到了一定程度，周期会从 2 变成 4。继续增加 b，周期又会相继变为 8 与 16……这个现象叫做倍周期分叉。

 

费根鲍姆常数

 

如果只发现了这些现象，是无法构成一篇完美、具有历史价值的论文的。但是，费根鲍姆的伟大之处在于，他开始考虑当参数 b 满足什么条件时，会出现倍周期的分叉、这些分叉点的参数 b 又有什么特点。

终于，在 1978 年的《统计物理学》期刊上，费根鲍姆发表了他的重要发现。

 

在费根鲍姆的文章中，他用希腊字母δ来标记这个常数

在费根鲍姆的发现中，出现倍周期分叉的相邻参数 b 之间可以定义出一个差值（相当于距离）。比如 b1 就是开始出现 2 周期分叉时的参数值；b2 是开始出现 4 周期分叉时的参数值；而 b3 是开始出现 8 周期分叉时的参数值。

费根鲍姆的重要发现如下：出现倍周期分叉的 b 的那些数值，距离之比接近一个常数，这个常数大概等于 4.6692……。

 

费根鲍姆同时还研究了别的映射，比如三角函数相关的映射，也得到了同样的常数。于是，他强调，这个数是“普适的”（universal）。也就是说，这个数不但对抛物线映射成立，而且对其他很多类似的映射也成立。

这意味着，这个常数背后有一个巨大的秘密。后来有人用量子统计与量子场论中的重整化群对这个常数进行了研究，取得了更多的进展。这个常数看起来比圆周率更深邃，但它的几何意义到底是什么，一直没有人能说清楚。甚至连这个常数到底是不是一个无理数，至今也还没有答案。

但我们确定的是，费根鲍姆常数与混沌理论有着密切的联系。费根鲍姆常数在抛物线映射中发现的倍周期分叉，其实是另一种“混沌”的前奏（数列是一种离散动力系统，离散动力系统中也存在混沌）。

由于费根鲍姆的常数大于 1，也就是说倍周期分叉的“距离”之比是一个等比数列，而这个等比数列虽然有无限多项，但总和是有限的。在参数 b 小于 3.57 时，这种以 2 为周期开始的倍周期分叉已经结束了。而当参数 b 大于 3.57 时，开始出现周期 3 开始的倍周期分叉——而根据李天岩与约克的定理：“周期 3 的出现预示着混沌的出现”，这意味着在抛物线映射中，也是可以出现混沌的。

无论是洛伦兹发现的微分方程（连续动力系统）中的混沌，还是费根鲍姆发现的数列中的混沌，都标志着一项新的物理学革命。混沌现象都是用计算机意外发现的，这也是电脑帮助人们做科学研究的典范。

 

Checkmate 象棋里面的“将军”，看起来像是两个英语词，其实是波斯语 shah mat （大王没救了）

关羽与荆州的结局不会有啥变化。

唯二有变化的是：

1.《三国志》中不会有魏延的传记，也很难有他的名字。

2.有个幸运儿代替历史中的魏延担任了汉中太守。

看魏延的履历：

魏延字文长，义阳人也。以部曲随先主入蜀，数有战功，迁牙门将军。先主为汉中王，迁治成都，当得重将以镇汉川，众论以为必在张飞，飞亦以心自许。先主乃拔延为督汉中镇远将军，领汉中太守，一军尽惊。

按时间线划分：

建安十六年——魏延以部曲随刘备入蜀。
（八年战功）
建安二十四年——超拔汉中太守，代替张飞。

魏延通过益州之战，汉中之战积累功勋，八年时间，才有被刘备提拔为汉中太守的资格。

若是跟关羽呢？

建安十六年——魏延以部曲留荆州，统属关羽。
（八年空白）
建安二十四年——荆州毁败，关羽被害。

在关羽北伐时期，魏延由于缺少战争的磨砺与功勋的积累，他大概率地位依旧不高，不过是军中将校的一员，史书留名都很难做到的。要知道，即便是关平，也是因为和关羽一起被俘被杀，才留了个名字而已。

魏延替代张飞担任汉中太守，固然有刘备集团国门也就两处（汉中、南郡）的缘故；固然有汉中军团守要独挡一方，攻要随刘备北伐的特殊性；固然有汉中太守有边疆大吏的发展前景在——但一军尽惊仍旧体现了魏延的名望不够，连担任太守的资格都欠奉的因素。

从这个角度说，你让魏延代替糜芳啥的更是想多了，魏延八年战功都没爬到太守的阶梯，是刘备超拔才上位——他留在荆州的话，八年来默默无闻，刘备和关羽有任何理由用魏延代替糜芳做南郡太守么？而关羽是董督荆州事，然后让关羽的儿子关平领南郡太守，这个操作也不现实。

要知道，糜芳在刘备集团中，基本是没人能代替的存在。糜家与刘备有过姻亲；糜家财力人力大量支持刘备；糜竺、糜芳兄弟抛弃了太守、国相的官位以及家业追随刘备；糜竺不爱理事，不要权力——这么多层 Buff 叠下来，糜芳这个南郡太守谁能替代？

诸葛亮、庞统、法正、关羽、张飞这五个人把糜芳换下来是没问题的。而按资历，亲贵算的话，赵云、简雍、孙乾、刘琰、刘封这些人都压不了糜芳的好吧，关平和少了八年战功的魏延就更不可能了。

魏延能替张飞，是因为刘备想把张飞放在阆中，压根就没打算让张飞顶在汉中。一是因为张飞有司隶校尉的角色，不适合在边疆；二是因为阆中便于支援汉中、江陵，是益州、荆州战场的第一预备队，属于重要的战略支点，用起来更得心应手。若是张飞仍在汉中，你去荆州难道还把汉中的守军调走么？

荆州毁败这件事，基本上是无解，因为糜芳的地位其实很高，而且非常可靠，是你去找刘备打糜芳小报告，刘备都会相信糜芳的程度——想走正当程序调走糜芳没有任何可能。

【说明】：本回答中涉及的专业术语较多，限于篇幅不能全部给出注释，但多数未注释的生僻专业术语已经添加注释页面的链接（部分页面需要借助特殊工具才能看到）。

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太阳系经历了怎样的演化历史？今天的太阳系为什么是“这样”，而不是“那样”？这类问题要较真的话都是非常复杂的，几乎每一个细分领域都是可以产生大量论文的课题。因此本回答不会尝试把问题分析透彻，而只能囫囵吞枣地从不同层面将这个问题可能涉及的原理做一个粗略的介绍。

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这个问题，需要从四个层次去理解：

1、基于天体力学基本原理的分析；

2、考虑行星形成的基本理论；

3、结合天体力学与行星形成理论的进一步讨论；

4、更深入地，考虑太阳系行星系统演化的动态历史。

这四点中，前三点得到的结论是一般性的、普适的，对于其它行星系统也适用，而第四点则反映了太阳系的特殊性。

一、基于天体力学基本原理的分析

这个原理其实很简单，概括起来就是：

离中心恒星越远的地方，恒星引力的影响越小，行星的势力范围越大。

换句话说就是，远离恒星的行星，有能力清空轨道附近更大范围内的物质。

我们先来考察一下“希尔球”的概念。

希尔球，又称洛希球，粗略来说，是环绕在天体（像是行星）周围的空间区域，那里被它吸引的天体（像是卫星）受到它的控制，而不是被它绕行的较大天体（像是恒星）所控制。因此，行星若要能保留住卫星，则卫星的轨道必须在行星的希尔球内。同样的，月球也会有它的希尔球，任何位于月球的希尔球内的天体将会成为月球的卫星，而不是地球的卫星。

（资料来源：维基百科）

设 a 为行星轨道半长径，e 为行星轨道偏心率，m 为行星质量，M 为恒星质量，则行星的希尔球半径

为：

可见，行星的希尔球半径与行星离恒星的距离成正比。

虽然题主的这个问题与希尔球的问题并不完全等同，但二者显然是有联系的——它们遵循同样的力学规则，在不考虑质量差异的情况下，我们可以推断每个行星的势力范围也与其离恒星的距离成正比。

（1），在行星的希尔球范围之内，显然不可能再有另外的行星——如果那里确实有一个天体，它将是环绕行星运行的卫星。

（2），即使在行星的希尔球之外，只要离行星的距离仍然比较近，这些地方的小天体将会受到行星引力的强烈摄动，因此它们不会有稳定的轨道，只要时间足够长，它们要么被行星俘获，要么遭遇引力弹射而离开这个区域。最终结果就是，行星清空了这个区域。

（3），在被行星清空区域的外围，虽然可以允许一些小天体存在，但仍存在一个相当大的范围，无法形成另外的行星。这是因为：a、受行星引力摄动，这些区域物质密度较低，难以聚集足够的质量形成行星；b、在行星影响下，这些区域的轨道稳定性相当脆弱，新行星吸积过程中频繁的碰撞极易打破脆弱的平衡，其结果就是这个环带内任何质量聚集的区域将遭遇更强的清除力度，最终使得整个环带密度趋于大体均匀。

上述第三点的情形，在太阳系中存在典型的例证：小行星带的物质因为受到木星引力的摄动，无法吸积为行星。

关于第三点的（b），可能有些读者觉得比较费解：既然在行星希尔球以外的某些区域，受行星引力摄动都可能导致物质无法聚集为星球，那么在离行星非常近的希尔球内，那些由岩屑盘聚集而来的卫星是怎么形成的呢？

回答这个问题并不困难：在非常靠近行星的地方，行星引力占绝对主导地位，在这里的物体受力简单，它们的运行轨道基本上仅由行星引力决定，因此卫星的运行只是个简单而稳定的二体问题；而在希尔球之外的区域，物体的运行轨道是由恒星引力主导的，任何一个靠近它的行星将成为不能忽视的第三物体，从而引发复杂而不稳定的三体问题。

事实上，基于同样的原理，在行星的希尔球之内，靠近希尔球边界的区域也是无法通过物质聚集的方式形成卫星的，如果那里有卫星，我们有理由相信它并不是在那里形成的——它很可能是被俘获的外来天体，或者在潮汐牵引作用下从内侧轨道迁移而来。

总之，在恒星引力与行星引力都不可忽略的区域，恒星、行星以及被引力影响的物体共同组成复杂而不稳定的三体，博弈的结果将导致这里物质稀少且难以聚集，从而无法形成大型天体。只有在其中一个力占绝对优势的区域，例如在离行星非常近的地方——远低于希尔球半径的高度，或者离行星非常远的地方——在这里行星的引力可以忽略不计，才有可能通过吸积方式形成新的星球，前者即行星的卫星，后者则将形成另一个行星。

在离恒星较远的地方，恒星引力较弱，天体受恒星的束缚更少，行星引力可以影响的范围更广，因此需要更加远离一颗行星，才有机会形成另一颗行星。

二、考虑行星形成的基本理论

这里要用到的也是一个非常简单的原理：

冻结线以外，容易形成更大的行星。

冻结线（英语：Frost line），又译为雪线（英语：Snow line）或冰线（英语：Ice line），在天文学或行星科学中，是指能让挥发物质（如水、氨和甲烷等物质）凝聚为固体冰粒的最小距离（由母恒星中心起算），这个名词是借用土壤学中冻线的概念。就太阳系而言，冻结线位于太阳星云中从原始太阳的中心向外起算的一个特定距离，此处的温度一般认为介于 140[1] 至 170 K[2] 之间。
由于采用的物理模型和计算方式对于计算冻结线距离有很大的影响，通常很难得出冻结线的确切距离。就太阳系而言，综观迄今所被提出过的所有理论值，太阳系的冻结线主要被认为落在 2.7[2] 至 5 AU[3] 之间，亦即火星与木星间的主小行星带。温度在冻结线之下的低温能让更多的固体颗粒吸积成为微行星，最终能成为行星。因此，冻结线将恒星系划分为拥有固态物体但挥发性物质稀少的类地行星区域，以及富含挥发性物质与冰冷物体的类木行星区域[4]。

（资料来源：维基百科）

我们先来了解一下行星形成的一般过程。

在行星形成的极早期，最初的核心是一些固态尘埃，例如石墨、硅酸盐、铁等通过碰撞，依靠电磁相互作用胶结在一起的。这个阶段因为质量非常小，无法通过引力作用约束和吸附任何物质，因此，这些凝结核无法吸积气体。

在冻结线以内，冰（在天文学上，冰一般指水、氨、甲烷等凝固点远低于金属、硅酸盐岩石，但又显著高于氢、氦等的一类物质）是以气态形式存在的，它们无法参与行星的早期形成过程。但冻结线之外，冰是固体，它们可以在很早的阶段就成为行星的组成成分。

在宇宙中，冰的质量比岩石或尘埃高出一个数量级以上，因此冻结线之内形成的行星凝结核，一开始就输在了起跑线上——没有冰的参与，仅靠固体物质补充，成长十分缓慢，等到它们终于大到可以靠引力吸积冰和气体的时候，冰和气体已经几乎被恒星风全部吹散了。

因此，在冻结线内形成的行星，基本上都是由岩石构成的侏儒；而冻结线外则形成了一批含有大量冰（天王星、海王星）甚至还吸积了更大量的氢氦气体（木星、土星）的巨无霸。

根据前面第一节的分析，质量大的行星，其影响的范围也更大，它需要的行星间距也更大。太阳系的 4 个巨行星，本身离太阳更远，势力范围本来就大，再加上质量巨大的因素，因此我们可以看到，在冻结线内与冻结线外，行星间距有一个巨大的跳变。

三、结合天体力学与行星形成模型的进一步讨论

前面两节的分析，基本上解决了“远离恒星的行星必须要有大的间距”的问题，同时也揭示了“离恒星较近的行星，可以有较小的间距”的原理。

然而，通过下面的分析，我们还可以了解到，事实上在岩屑盘物质足够丰富的前提下，离恒星较近的行星，不但可以，而且是必定有较小的间距。

本节所涉及的主要原理为：

在恒星引力势阱越深处（离恒星更近的地方），来自不同轨道的物体遭遇时的碰撞截面越小；即使相撞，撞击后的吸积概率也低。

想象一下，如果有两个轨道交叉的人造卫星在太空中相撞，它们会粘在一起还是碎片横飞？

显然是后者——因为引力太小，它们没有机会像地球吸积流星体一样，相互吸积成一个更大的物体。

那么问题来了：那些在行星形成早期的尘埃、岩石或星子（即微行星），是怎么通过碰撞胶结到一起的？它们为什么不会撞成碎片？答案其实很简单：它们是在低速碰撞下胶结的。

形状像雪人的小行星“天涯海角”、像小黄鸭的彗星 67P 就是这种低速碰撞下结合的典型例子。

低速碰撞要求两个物体碰撞前速度差比较小。在行星形成时期，岩屑盘内物质基本上是按照同一方向旋转，并且相同轨道高度的物体有大体相同的轨道速度。因此，我们有理由相信，最初微不足道的那些小凝结核，一定是一些基本在同一轨道附近的物体碰撞形成的。

当星子成长到直径 1km 以上时，就可以靠引力吸积一部分物质了。但这时候的星子仍是脆弱的，虽然它可以吸积一些与其轨道略有差异的物质，但如果轨道高度差太大，仍有可能将其撞碎。

图四是引力（左）及引力势能（右）与距离的关系。可以看出，在靠近恒星的的地方，引力势能的梯度是很陡的，与恒星距离的一点点差异就意味着巨大的势能差。

假定一颗星子 A 因为某种扰动，脱离了原来的近圆轨道开始下降并与更低轨道的另一个星子 B 相撞，那么 A 在下降过程中，势能降低所转换的动能必然导致其与 B 有较大的速度差。如果在离恒星比较近的地方，这种较大的速度差更有可能导致碰撞是毁灭性的（撞碎）而非建设性的（吸积）。高速碰撞并分散之后，较大的碎片仍是一个独立的星子。

前面讨论的是两个星子已经撞上的情形。事实上，在更多的时候，两个相对速度较高的天体根本就无法相撞。

当两个相对速度很低的物体靠得比较近时，两者之间的引力可以将其进一步拉近，最终导致相撞合并。在某个相对速度时，能够导致两个天体在引力作用下最终相撞的最大距离所构成的圆面，就是二者在该相对速度下的碰撞截面。

而当二者的相对速度较高时，虽然引力仍导致与低速时相同的加速度，但引力势能的释放会进一步加速物体，这很可能使得二者的速度都超过了对方的逃逸速度，最终结果就是双方擦肩而过。当二者相对速度本来就超过相互的逃逸速度时，碰撞截面将缩小为二者自身的几何尺寸。

因此，在离恒星较近的地方，两颗具有一定轨道高度差（与恒星的距离差）的星子比较难以通过合并来形成更大的星子。

上面这段话反过来看就是，在相同（以与恒星的距离衡量的）空间尺度内，离恒星较近的区域将会有更多的星子在不同的轨道高度上幸存下来并各自成长为原行星，最终进一步发展为行星。当然，需要再次强调的是，这一切的前提是在近恒星区域的岩屑盘有足够丰富的物质。

【一点题外话】

第一节和第三节所涉及的天体力学原理，其实也许可以唯象地推广到更多的领域。在几乎所有势能与距离成反比的系统中，都可以观察到类似的现象。

例如原子核外电子的 s 轨道。如图五

当然，这只是唯象的类推，事实上在原子系统中为何会这样，其细节与天体力学中必定是非常不同的，有兴趣的读者可以自行深入研究。

四、更深入地，考虑太阳系行星系统演化的动态历史

前三节的讨论是在把行星系统的演化视为静态、稳定的前提下得到的结论，然而实际的行星系统演化要比这复杂得多。

例如，行星轨道的迁移，就完全可能对规则造成破坏。理论模型和实际观测结果表明，年轻恒星旁的气体原行星盘寿命约数百万年。在气体消散之前，行星或原行星通常会转移角动量到周围气体，并且使行星逐渐向内侧螺旋移动。

目前在系外行星系统中发现的大量热木星，显然就是轨道迁移的结果——在离恒星如此近的地方，不可能形成巨大的类木行星，它们应该都是在外围形成后，经历轨道迁移才到达现在的位置的。

行星轨道迁移在行星系统演化中是普遍现象，太阳系也不例外。但这又是一个高度复杂的问题，目前对于太阳系行星迁移历史的研究，并没有得到一个清晰的、为学术界公认的演化路线图，因此要完整地从行星迁移的角度来分析题主的问题是非常困难的。

在这里，我只介绍一些相对比较主流的理论以及其中对行星轨道变迁的描述。

大迁徙假说是行星天文学的议题，认为木星在距离太阳 3.5天文单位之处形成以后，在其因捕获土星的轨道共振而发生轨道变化的逆转之前，曾经迁移到 1.5 天文单位。最终停止在 5.2 天文单位之处。木星迁徙的轨道逆转路径被比喻为帆船的改变航向（逆风行驶）[1]。

（资料来源：维基百科）

木星大迁徙假说又称木星大航海假说，它包含以下主要内容：

1、木星形成于太阳系冻结线外侧的 3.5 天文单位处。内太阳系的气体和冰被太阳风向外吹散后，在冻结线外侧重新凝结并在那里堆积，因而木星获得了额外丰富的物质来源，成长为太阳系最大的行星。

2、木星形成过程中及形成后，经历经典的Ⅱ型行星迁移（Ⅰ型和Ⅱ型行星迁移相关概念请看：行星迁移），逐渐向内，一度达到 1.5~2 天文单位处；同一时间内，土星也向内迁移，因为质量越小迁移越快，土星可能经历了失控的快速Ⅰ型行星迁移，迅速向木星靠近。

3、土星在 2:3 轨道共振位置被木星捕获，这导致两颗行星的清空区域重叠，土星清除了木星轨道外侧的气体和尘埃，从而逆转了导致木星向内迁徙的扭矩（木星内侧的气体仍然存在）；同时复杂的轨道共振（林达博共振）也提供向外迁徙的动力，两颗行星逐渐向外迁移，并最终到达现在位置。

4、木星向内迁移过程中对内太阳系造成巨大扰动。内太阳系原本可能有比现在更多的原行星，它们在被木星引力摄动后轨道混乱，相互碰撞。地球、金星等很可能就是从碰撞的碎片中产生的，那个导致月球形成的原行星“忒伊亚”，可能也是在这个时期与原始地球相撞的。更多的原行星和碎片可能坠入太阳或被弹射出太阳系。

内太阳系原本可以有更加密集的行星，在木星向内迁徙的时期，许多物质都失去了，这造成今天内太阳系的低质量。

5、由于木星一度到达火星轨道附近，清除了那里的大量物质，导致最后形成的火星质量不寻常的小。

6、木星两度经过小行星带，清除了那里的绝大部分物质，导致这个区域物质总量不足以形成行星。

7、木卫三、木卫四可能在木星迁徙方向逆转之前即已形成，木星进入内太阳系后，高温剥离了它们的大气层；而土卫六则很可能是在土星重新向外迁移后才形成的，它的大气层因此得以保留。

尼斯模型（英语：Nice model，(发音：/ˈniːs/neess）是一个太阳系动力演化理论。该理论以提出地，蔚蓝海岸天文台所在的法国城市尼斯命名[2][3]。该模型的提出是为了解释太阳系中的类木行星在原行星盘内气体消散很久之后从原本排列紧凑的位置迁移到今日位置的机制，这个模型和先前其他太阳系形成的模型并不相同。这个模型的太阳系动力学模拟是用来解释太阳系内许多事件，其中包含了内太阳系的后期重轰炸期、奥尔特云的形成、太阳系小天体的分布，例如柯伊伯带，木星与海王星的特洛伊天体，以及大量被海王星重力影响的共振海王星外天体。这个模型因为许多对太阳系天体观测的结果符合其预测而获得成功，并且是近年最被广泛接受的太阳系早期演化模型[3]；虽然它并没有被行星科学家普遍接受。

（资料来源：维基百科）

尼斯模型认为：

1、在太阳系的气体和尘埃消散之后，4 颗类木行星分布比现在更紧凑（位于 5.5~17 天文单位之间），在类木行星带之外直到 35 天文单位处，分布着一个总质量约为 35 倍地球质量、由岩石和冰块组成并充满星子的岩屑盘。

2、由于岩屑盘的内缘与类木行星带外侧紧邻，那么就常有岩屑盘内缘的星子受最外侧类木行星（不确定是天王星还是海王星，在尼斯模型中，天王星与海王星有 50%的概率曾经互换位置。）的摄动向内移动，同时与行星发生角动量交换，该行星则向外迁移。

3、被最外侧行星向内弹射的星子，在到达相对靠内的位置后，也有机会被更内侧的行星再次弹射，同时与行星交换角动量，导致内侧行星也相应地向外迁移。

这种轻度弹射的结果就是，土星、天王星和海王星都经历了向外迁移的过程，最终到达它们现在的位置。

4、当被外侧三个类木行星向内散射的星子进入木星巨大的引力势阱之后，将被极大地加速，遭到重度弹射。除了一部分星子被木星弹射进内太阳系以外，其余大部分星子进入长椭圆轨道，甚至被抛射出太阳系。相应地，木星因为向外弹射了更多的星子而失去角动量，轨道略向内迁移，到达约 5.2 天文单位的现位置。

这一切主要发生在太阳系形成约 6 亿年之后。

5、那些被弹射进入内太阳系的星子，直接导致了“后期重轰炸期”，给地球、月球以及其它内太阳系行星带来大量陨石撞击，同时也为地球带来了水，为生命的萌芽打下了基础。

6、那些被向外弹射的星子形成了奥尔特云，而岩屑盘的剩余物质及被轻度散射的星子则构成了柯伊伯带和离散盘。

总结

1、天体力学及行星形成模型的原理揭示，任何多行星的系统，都有内侧行星密集、外侧行星稀疏的倾向。

2、静态稳定的理论仍不足以充分解释太阳系内行星及外行星之间距离差异的巨大鸿沟，因此需要通过行星迁移的理论来补充说明。

这，就得从胚胎发育说起了……

但为防文长不看，还是简而言之：胎记（学名色素痣）是因为在胚胎发育阶段，一些本应该转化为黑色素细胞的前体细胞因为一些原因没有均匀分布在皮肤上，而是聚拢成团，所以形成了含有大量黑色素细胞的体表良性病变。

=====简略回答的分界线，下面是我的侃大山环节==========

我们的皮肤由浅至深分为三层：表皮层，真皮层和皮下组织。

其中，表皮层又可以细分为角质层，透明层，颗粒层，棘曾和基底层。在位置最深的基底层，除了不断分裂的角质形成细胞，就是黑乎乎的黑色素细胞（Melanocytes）了：

正常情况下，这些黑色素细胞平均分布于皮肤各处，其合成的黑色素不仅可以作为遮挡物避免紫外线对深层皮肤的伤害，同时还形成了不同人种的肤色。一项研究发现，不同肤色人种皮肤中的黑色素细胞数量基本一致，引起肤色深浅有别的，其实是黑色素细胞分泌黑色素的多少。

但在某些情况下这些本该均匀分布的黑色素细胞发生了聚集，就形成了我们肉眼可见的色素痣。色素痣可大可小，颜色可深可浅，可平坦可凸起，可谓是五花八门。但从成因上讲，都是黑色素细胞的异常聚集造成的。

黑色素细胞是怎么来的呢？

学过初中生物的朋友应该都知道胚层这个概念，生命从单细胞到多细胞，从单胚层到多胚层的演化过程中，多胚层生物因为更完善的身体结构，更灵敏的反应性和更强的适应能力而凸显出生存的优势。人类就是典型的三胚层生物，在胚胎发育过程中，三个胚层逐渐分化为不同的组织器官。

很神奇的是，藏于我们机体最深处的中枢神经系统和我们身体最表层的表皮层细胞都来自于外胚层。导致这一神奇过程的，是原肠胚形成之后外胚层细胞发生了一次意义重大的内卷：

以脊索为引导，神经板（蓝色）向内凹陷病逐渐形成管状的神经管，这根微小的管子会在未来发育成生物体复杂的中枢神经系统。而神经板外侧的神经褶（绿色）则在神经板卷起的过程中相遇、融合成神经嵴。而神经褶外周的其余外胚层细胞（灰色）则进一步愈合，把神经管和神经嵴埋进去。

从此，同为外胚层的细胞，有些内卷为神经管，进而发育成中枢神经系统（脑＋脊髓）

Ps,如果在神经管形成和发育的过程中缺乏叶酸，很容易出现多种神经管畸形

严仁英教授推动了我国孕妇补充叶酸上升为国家行为，大大降低了新生儿神经管发育畸形的发生概率。为我国优生优育工作做出了巨大贡献。2017 年以 104 岁高龄与世长辞。

菲利普医生：那位用叶酸拯救无数家庭的百岁老人走了

有些外胚层细胞融合为神经管上方的神经嵴，进而神经嵴细胞逐渐进入胚胎的全身各处，进而发育成多种看似毫无关联的细胞和组织——黑色素细胞、肾上腺髓质、神经元、施旺氏细胞、平滑肌细胞、成骨细胞、破骨细胞、脂肪细胞和软骨细胞……

那么黑色素痣又是怎么形成的呢？

一部分神经嵴细胞迁移到胚胎体表并分化为黑色素细胞，在此过程中如果出现了过度的聚集或者增殖，就会造成了局部黑色素的增多，形成肉眼可见的黑色区域。如果伴有结缔组织的增生，这些胎记还会出现增厚、凸起。形成五花八门的色素痣：

目前已经发现了几个和黑色素痣、黑色素瘤发生、发展高度相关的基因，例如 Sox10^[1]，BRAF^[2]，CDK4^[3]等，但这些基因通过什么方式，在哪一个阶段干扰了神经嵴细胞的迁移还是分化，尚没有非常确切的研究。所以目前来看，“为什么人要长胎记”这个问题的答案我们还只是知其然，却不甚知其所以然。

以上是从组织学和胚胎学的角度对色素痣发生的原因进行了科普。

2017 年我曾经从临床治疗的角度对色素痣进行过科普，如果感兴趣可以拓展阅读：

菲利普医生：有关黑痣的一些事

最后我想说的是，美有千万种。胎记确实会给颜值打折扣，但活出自我、活出自己不一样的美丽，生命一样可以精彩。就像她们一样：

可能很多人都想象不到，看上去简简单单的「光的折射」要用量子力学来解释。

折射是我们学习过的第一批光学现象，它看起来非常简单，光从一种介质射入另一种介质将会在界面处改变方向，折射率越大的介质，传播方向越靠近法线——我们还学习过一个定量计算的“斯涅尔定律” （Snell’s law），其中 n1 和 n2 是两种介质的折射率，θ1 和θ2 是入射光和折射光与法线的夹角。

如果你感兴趣，不妨计算一下，你会发现光只有走这条路径，从 A 到 B 的时间才最短——因此它符合一个更简单也更有意义的费马原理：在给定的两点之间有无穷多条路径，光只能沿着所需时间为驻点的路径传播。

所谓驻点，

1. 有可能是极小值——除了折射以外，平面镜上的反射也是这样：在所有可能的反射路径中，那条关于法线对称的路径最短。

2. 有可能是极大值，比如在球面镜内的反射：在所有可能的反射路径中，那条平分线通过球心的路径最长。

3. 还有可能是拐值，比如将平面镜和球面镜各取一半，从球面部分反射的路径都更短，从平面部分反射的路径都更长。

所以如果有一个奇形怪状的反射面，光就会根据具体情况，同时沿着几条驻点路径从 A 抵达 B。这看起来很容易理解，但稍一琢磨就会出现一个巨大的困惑：光又没有脑子，怎么能未卜先知，在出发之前就知道 B 点在哪，知道介质有多大的折射率，知道镜子是什么形状，作出这么复杂的“举动”？更何况光已经是宇宙中最快的，没有任何东西能给光源通风报信了。

对于这一现象，从不同的角度出发可以有不同的表述，下面介绍相当有趣的一种：光并不是只沿着驻点路径传播，而是同时沿着所有可能的路径传播，甚至包括了那些歪歪扭扭的曲线路径。但光会在这无穷多条可能的路径上自相干涉。

然而不同的位置上干涉的程度并不相同：在给定的两点之间，几乎所有的路径都因为相位差异而相互抵消了。

但是驻点能够成为驻点，就是因为不同路径的相位差异在这里最小，各路干涉不会完全抵消，而会留下完整的波动，所以对 B 点来说，就是光只能从驻点路径传过来。

打个比方，我们能够观察到的光的传播路径，是所有路径同时厮杀之后的结果，光最终以怎样的路径抵达终点，就取决于战场上有怎样的赢家。

这个理论不仅适用于光的传播路径，而且能够表述整个量子力学——它就是费曼提出的多重路径积分表述：量子的运动总是“未卜先知”地遵循某种特殊的路径，乃是因为这个路径是所有可能路径的累计结果，而不是有什么超距作用。

我们必须注意，这种表述虽然非常有效，但它与量子力学的所有表述一样，都不是现实本身，也不能区分哪个更正确，正如哥本哈根学派的那句名言：“先有自然才有人类，但是先有人类才有自然科学”——我们的一切知识都是关于现象的模型，而不是现象本身。

本回答所有截图和内容摘引自节目《光为什么这样传播？ | 混乱博物馆》

光为什么这样传播 | 混乱博物馆 https://www.zhihu.com/video/1124015527731011584

1.当时金饼多采取滴铸工艺，即类似沈括《梦溪笔谈》中提到的“蹏金”：“蹄作圆饼，四边无模范迹，似于平物上滴成，如今干柿，土人谓之柿子金。”这种滴铸工艺的缺陷是容易产生中空，因为金的物理特性很软，一旦中空塌陷，就会凹下，并且产生这种裂纹。还有一种观点认为，这是为了方便携带而故意把金饼锤扁的。

2.金饼作为等价物的一种，其价值在于金的多少，外观是否精美则不重要；而青铜器作为礼器，精致程度则是价值的一部分。

3.汉代还有一些不计工本生产的掐丝贴花镶白玉面马蹄金和麟趾金，做工精美工艺细腻，恐非一般货币，可能具有礼制意义。

略长，慎入。

起源。唐朝的节度使始于唐睿宗时期的幽州节度使，最初设立目的是为了总督北方军事，抵挡突厥和契丹。而且当时唐朝实行府兵制，大规模征召兵员只有在战争时期才会发生，基本不存在将军专权的情况。

发展。到了唐玄宗时期，节度使变得举足轻重。

而节度使之所以在政治上崭露头角，是因为一项重要的改革——府兵制改募兵制。这项改革受到后人诸多否定，让我们看看真实情况。

中唐以来，唐帝国一直受到西方和北方的游牧民族入侵，“天可汗”的地位早已不复存在。

公元 695 年，吐蕃论钦陵入侵唐帝国，次年在吐谷浑罗素山击败了王孝杰娄师德率领的大军。

公元 696 年，契丹发生大规模叛乱，在硖石谷歼灭了唐帝国二十八员将领率领的军队。后因默掇可汗袭击后部继续南侵，河北震动。

同年，突厥入侵甘肃凉州，呼应吐蕃，吐蕃要求唐帝国从四镇撤军。

公元 697 年，突厥默掇可汗单方面停止谈判，并掠夺诸州，唐帝国举国震动。

面对日益紧张的边境形势，原先的府兵制已经不适用于新的战争环境。

为了应对外来入侵，睿宗、中宗、武后做了诸多努力，例如修缮隋长城，建立新的防御工事，部分地区采用募兵制，以及设立节度使。

改府兵为募兵，建立由国家供给的职业军队，代替原先闲时为农，战时为兵的府兵。（另外也因为土地兼并、腐败等因素，府兵制渐渐难以维系。）

最终，励精图治的唐玄宗决心在对外战争中树立唐帝国对外的权威。

这段时间内针对吐蕃、突厥、契丹、奚族设立九大蕃镇。九大蕃镇分别是：

平卢，驻营（首府）于营州，于 719 年设立，用于控制南满，防御契丹和奚族。

范阳，驻营于幽州，于 714 年设立，目的是防御契丹、奚和突厥对河北的入侵。

河东，驻营于太原，于 723 年设立，用于防御突厥、奚、契丹对河东入侵，控制定居的部分部落。

朔方，驻营于灵武，于 713 年设立，用于防御突厥入侵关中，控制鄂尔多斯定居的部落民族。

陇右，驻营于鄯州，设立于 714 年，防御吐蕃对关中入侵。

河西，驻营于凉州，设立于 711 年，防御吐蕃突厥对河西走廊入侵。

剑南，驻营成都，设立于 717 年，防御吐蕃入侵四川。

北庭，驻营庭州，设立于 727 年，控制中亚通道。

安西，驻营龟兹，设立于 718 年，控制塔里木绿洲。

为了有效使军队投入对外战争，唐帝国设立了节度使。

而所谓节度使，就是总理一方军务，率领招募的士兵对外作战的指挥官。节度使具有地方军事全权，军事行动无需中央授权，在应对机动力强的游牧部落时有以快制快之效。

募兵推行，节度使建立，效果立竿见影。尤其自八世纪中期到安史之乱前，唐帝国对吐蕃、契丹的战争取得了很大的成果。（例子太多例举两个）

728 年，在吐蕃境内占领多个主要要塞，729 年进入青海湖地区。737—740 年再次进入青海湖地区，最终占领安戎，取得决定性胜利。

753 年哥舒翰夺取黄河上游地区。

735、736 年，大败突骑施苏禄。

740、744 年，李适之、安禄山数次击败契丹、奚族叛乱。

但是，这段时间内节度使也渐渐成了帝国新的威胁。由于对边关的物资运输极其困难，八世纪二十年代，节度使被认可在所在地屯田，管理后勤，后来直接掌管了地区财政归属。而且部分节度使兼任了节度使以外的官职，比如朔方节度使兼任关内道采访使，有了一定驻营外人事任命权。并且中央宰相集团中多位宰相都是节度使出身，如牛仙客、李适之，这给了职业军人通往中央的途径。

除此之外，还有最为危险的政策：748 年，李林甫上疏，要求将边境将领置于外族节度使之下。其中主要的两个外族将领（两人是宿敌）就是安禄山（河东、范阳、平卢）和哥舒翰（陇右）（这一建议直接原因是皇甫惟明和王忠嗣事件，可以视为李林甫为控制边防将领而做的阴谋）

这一做法一是因为外族将领更加骁勇善战（如哥舒翰）另一方面是因为外族将领在朝中政治基础不足而必须依附李林甫，而且李林甫认为他们缺少政治野心。

放任节度使坐大的结果就是导致唐帝国由盛转衰的安史之乱。（当然还有不少其他原因，这里只考虑节度使的因素）

安史之乱最后以妥协的方式结束，这对节度使的直接影响，就是自治权更大（甚至拥有世袭权）、范围更广（遍布全国）、数量更多。节度使凭借军事实力，实现了对地方州县的实际控制，改组了唐帝国的地方行政结构。（由州—县改为蕃镇—州—县，主要是北方的几个节度使，黄巢叛乱后范围才扩大）

这时，唐帝国出现了全国军事化，军人大规模干预政治的形势，朝廷也基本只能默许节度使对地方官员的任命。

为了挽回局面，唐帝国的中央政府做了大量努力。

唐代宗尝试削减了蕃镇控制的州县，唐德宗将西北神策军纳入中央军，并且采取了两税法，扩大中央收入。而唐宪宗，实现了中央对蕃镇的重大胜利，元和削蕃。（期间存在波折，比如唐德宗削蕃心切反而酿成了河北诸镇之乱，直接导致了河北强蕃半独立且能自行人事任命）

关于元和削蕃，先要了解其针对的蕃镇。

分别是：幽州、成德、平卢、魏博、淮西（画重点，只有这几个蕃镇拥有相当的自治权和人事任命权）

关于元和削蕃，我在此不详述过程，只讲蕃镇。

蕃镇受到了沉重的打击，自治的蕃镇只剩下三个：幽州、成德、魏博

并且，唐帝国实现了在制度上对蕃镇进行管理。将蕃镇的收入限制在蕃镇驻营所在州，将原蕃镇所属州的岁入转交中央，并且提高了州的军事地位，使蕃镇不再对州具有军事上的控制。换言之，就是把镇—州—县改为了镇 / 州—县两级行政组织，有效强化了中央权威。

此时，蕃镇基本不再具备和中央抗衡的实力，而人事任命除了半自治蕃镇，基本收归中央。

但是，在这段中央地方斗法的时间中，唐帝国的经济基础已经出现了剧变。

安史之乱爆发后，全国大规模军事化，农业生产几乎停滞甚至倒退，通货紧缩严重。

随后唐德宗的两税法，即一年收两次税、鼓励地方向中央贡礼、盐铁官营，虽然给了中央收回权力的经费，但也加重了农民的负担。

此外，唐帝国中央政府对地方蕃镇的军事行动和对外防御（吐蕃、南诏）的巨额军费，维持复兴的帝国中央政府的经费（中央政府复兴的重要表现是牛李党争，期间出现了中央机构扩大化、人员复杂化、政治官僚化，通俗点讲就是中央有权威了，不一致关注地方问题，开始内斗了）都使农民承担了巨大的增税负担。

再加上宪宗后期、武宗、宣宗时期，牛李党政日益激烈化、地方化，唐帝国陷入了无休止的内耗之中，甚至于轻视了基层地方的巨大隐患。（当然也有一些措施缓解，比如武宗灭佛，收回土地，限制农民皈依，宣宗之治打击朋党、统一朝政，积极务农，核实户口）

最终，唐帝国被愈演愈烈的农民起义和戍军暴动彻底击溃。

这段时间的暴乱情况基本可以分为以下几段：

780—820 年，为了加强中央权威的行动不断增加农民负担。

820—860 年，地方骚乱和地方性匪盗增加。

860—875 年，地方戍军开始大规模叛乱（庞勋），并且出现农民广泛支持的起义（王仙芝）。

875—884 年，黄巢叛乱如火如荼，唐帝国基层组织秩序被彻底粉碎。

884—907 年，地方势力不断崛起，控制 / 建立地方政权，唐帝国寿终正寝。

其实这段时期历史已经不属于旧官僚节度使和中央皇帝，而属于农民起义军和地方军阀了。（划重点，宪宗之后僖宗之前，节度使的任命基本收回中央，除了三个保持半自治的蕃镇，其他蕃镇基本回到了玄宗时代早期的情况）

在此仅简单叙述一下唐帝国内叛乱（戍军暴动农民起义）情况。

裘甫，859—860 年起义，860 年被王式镇压，揭开大规模叛乱的序幕。

庞勋，868—869 年率军兵变，戍军兵变代表人，企图朝廷命其为武宁节度使，最后由唐帝国借助外国军队镇压。（此时职业军人暴乱一发不可收拾，跨区域、得到地方势力支持的暴乱愈演愈烈，之前多为领导阶层内部斗争）

王仙芝、黄巢起义，874—884 年，一般被视为压倒唐帝国的最后一根稻草，但实际上也有阶段之分，前期主要是盗匪集团对帝国进行劫掠，从北打到南，中期企图建立新王朝从南方北上，甚至占领了长安，但没有得到地方支持，彻底改变了唐帝国政治结构（地方纷纷拥兵自重，成为和中央抵抗的政治实体），最终被镇压也是地方势力和脆弱的唐帝国中央共同镇压。（这是唐帝国后期最重要的政治变化）

唐帝国最后的 20 年发生了决定性的变化，唐帝国中央在农民战争中被彻底击败，各地节度使或地方势力纷纷开始拥兵自重（打着防匪盗的名头，如高骈），形成了分布广泛的政治实体。

最终，外族入侵并且扶持的代理人，地方士族起义控制的地方政权，拥兵自重的朝廷命官，一起瓜分了唐帝国的遗产。（这些人在 907 年唐帝国被朱温彻底毁灭前大都称自己为节度使，但其实旧瓶装了新酒，蕃镇已经成为地方政治实体而非帝国的下属机构）

所以实际上综唐一朝，节度使从最开始帝国的军事将领，演变为北方群雄割据、南方赋税稳定，再经历了宪宗到懿宗时期的稳定收编，从体制上的管理时期，最终在唐末成为了新兴军阀、唐旧官僚以及地方豪强组成的复杂的地方政治实体。

以上就是唐代节度使大致的历史轨迹，基本是从中央地方关系的角度上叙述（前中期比较容易表述，后期一言难尽），如果想更深入了解可以阅读张国刚教授的《唐代蕃镇考察》，里面从蕃镇的种类（四种蕃镇）对蕃镇进行了描述，个人认为是另一种视角，建议读了本回答仍存疑惑的朋友阅读。

另外唐末历史较为复杂，中央不仅存在官僚党争，宦官夺权，还存在对地方管理的种种挑战。而地方经济基础的变化，地方政治机构的本土化，地方军人的大规模参与政治以及农民起义等等。。。如果加上唐帝国对外外交那就更加复杂。。。

总之总结一下提问的问题，唐代节度使能否对官僚进行任命需要分时期、分地点的叙述，不能一概而论。

（论点的史料会晚点补上，当然要我有空翻翻书）