用最简单的说法就是：巫师界根本不存在独立的经济体系，巫师界的经济体系和麻瓜货币是牢牢绑定的：

一加隆永远等于五英镑。

换句话说：加隆、西可和纳特压根就不是货币。

是什么？

代币。

或者用人话说：游戏币。

再换句话说：巫师货币就是麻瓜货币的转换器，巫师必须先兑换游戏币，才能用来在指定商店购买指定魔法商品。

肯定有人会问了：这不是脱裤子放屁多此一举吗？！

巫师货币就为了让巫师“脱裤子”才出现的。

因为罗琳“设定”的根基在于《国际保密法》，在于亚瑟韦斯莱的工作：

　　“你爸爸在魔法部做什么工作？”
　　“他在一个最无聊的部门，”罗恩说，“禁止滥用麻瓜物品办公室。”
　　“什么？”
　　“就是禁止对麻瓜制造的东西施用魔法，怕它们万一又回到麻瓜的商店或家里。就像去年，有个老巫婆死了，她的茶具被卖到一个古董店，一位女麻瓜买下了这套茶具，回家请朋友喝茶，真是一场噩梦啊——爸爸连着加了好几个星期的班。”
　　“怎么回事？”
　　“茶壶突然发起疯来，滚烫的茶水四处乱喷，一个男人住进了医院，方糖的钳子夹住了他的鼻子。爸爸忙得不可开交，办公室里只有他和一个叫珀金斯的老巫师。他们不得不用遗忘咒和各种办法来把这件事掩盖过去……”

想象一下吧，一个麻瓜一不小心闯到了对角巷，用英镑购买了一大堆魔法制品：单就巧克力蛙就足够让麻瓜蹿起来了。

巧克力蛤蟆会自己蹦跶！

这类事件不是没发生过，而是发生过很多次。早在巫师转入地下之前就常有麻瓜到破釜酒吧喝酒。等到巫师转入地下之后，赫敏的两个麻瓜父母也能跟着赫敏进来。

麻瓜必须能进入破釜酒吧—对角巷以及九又四分之三站台。因为麻瓜家长给巫师孩子购买学校用品以及接送孩子上学是现实需求。

因此，这类场所的咒语规则是这样的：

　　“是的，”哈利说，“问题是——问题是我不知道该怎么去——”
　　“该怎么去站台是吗？”她善解人意地说，哈利点点头。
　　“别担心，”她说，“你只要照直朝第 9 和第 10 站台之间的隔墙走就是了。别停下来，别害怕撞到隔墙上，这很重要。你要是心里紧张，就一溜小跑。走吧，你先走，罗恩跟着你。”
　　“哦——好吧。”哈利说。

只要你相信它不是隔墙，你就能进去！

正因如此，就还有一类麻瓜，就是稀里糊涂闯进来的。

　　2003 年，两个遛狗的麻瓜碰到了门钥匙，被意外地传送到塞蒂娜的演唱会现场。她将其中一个人请上了舞台，并让他和自己一起演唱了《一锅火热的爱》。尽管第一时间赶到的魔法部官员用遗忘咒抹去了他对这件事的记忆，但他后来还是写了一首风格十分相像的歌曲。塞蒂娜对此并不高兴。

所以必须要给这些被施了魔法的、代表魔法世界的商品统统加把锁。

在哪儿加锁可以一劳永逸呢？

当然是在钱上。

这和游戏厅一样一样的：你只能在指定游戏厅兑换指定型号的游戏币才能解锁游戏服务。

也就是说，英国巫师经济原本就是英国经济体系中的一部分。人家压根也没拆分，只是加了一堵防火墙。

也正因如此，妖精掌控不了巫师界的经济体，它和麻瓜的货币体系压根就是一体的。因此在魔法部国际魔法合作司专门设置了妖精联络处的职务。这个人就是负责跟妖精打交道，让他们别出幺蛾子的。

至于巫师界人口……当年不知道那个傻叉翻译罗琳的采访没翻译明白或者没翻译全，直接扔出来三千人就不管不顾了。

　　主持：有多少巫师？
　　罗琳：全世界？哦，爱默生，我数学太糟糕了。
　　主持：麻瓜和巫师的比例是否合适呢？
　　主持：或者是霍格沃茨。
　　罗琳：好吧，霍格沃茨。行，我就说说霍格沃茨。在我完成《魔法石》的那一刻之前，从构思到出版这本书中间，我积累了七年的东西。我坐了下来，创造了 40 个进入哈利那年的孩子。我很高兴我做到了，这太有用了。我有了 40 个充实的角色，永远都不必停下来再去创造某个角色了。我知道那一年中都有谁，我知道哪个人在哪所学院，我知道他们父母的身份，并且我拥有他们所有人的一些个人详细信息。当时有 40 个。我从没下意识地想过，“就是这样，这就是那年的所有人”，但就是这样。
　　然后，几次被问到有多少人，而且由于数字不是我的长处，所以我的大脑的一部分知道有 40 个人，而我大脑的另一部分则说：“哦，大约 600 个听起来不错。”然后人们开始研究，并说：“其他孩子在哪里睡觉？”我们在这个问题上有点进退两难。我的意思是，显然魔法非常罕见，我不想说一个精确的比例。但是，如果你假设所有巫师的孩子都被送到霍格沃茨，那么巫师比麻瓜的人口比例就很少了，不是吗？就会有某个奇怪的孩子，他们的父母不希望他们去霍格沃茨，但是整个英国只有 600 个孩子是很少的。
　　假设有三千个（在英国）①，实际上，想一想吧，然后想想所有的神奇生物，其中有一部分似乎是人类（注：指半人类或异类）。因此，你有了诸如女妖，巨怪，食人妖之类的生物，所以这人数确实增加了。然后，你有了像费尔奇和费格这样可悲的人的世界，他们虽然是这个世界的一部分，但却被晾在了一边。这也会让你你感到有些不适，所以这是一个更大，更不可思议的社区，需要隐藏，掩盖，但不要拘泥于这些数字，因为这不是我的想法。^[1]
　　①原文是 Let’s say three thousand [in Britain]，这是一个口头语，可以翻译成“比如说”“假设说”“如果说”“就说……吧”……这是一个很虚拟的说法。

从这句 Let’s say three thousand 开始，三千人的谣传就没头了。

世界杯上涌来了十万巫师，巫师就有十万。那我就想问问：北京奥运会有多少人坐在现场了？中国人就那些人了吗？或者说中国麻瓜就那些人了吗？

纳威没去，加上他奶奶，所以巫师总人口就十万零二个。——这种扯犊子的推论也有人能信？

还有人说书里就写了哈利、罗恩、赫敏、纳威、迪安、西莫、拉文德、帕瓦蒂、金妮、伍德、安吉丽娜、凯蒂贝尔、艾丽娅斯平内特、双胞胎、珀西……这几个格兰芬多的学生，所以格兰芬多就这些学生。

你咋不让施耐庵给一百单八将一人写篇小传呢？

你咋不让他把梁山好汉那些喽啰也拉张名单呢？

你写小说不管学校多少人都得把全校学生人名单咵咵咵列一遍？

这不是吃饱了撑的吗？！

然而就是无数这样的答案充斥着整个知乎。

罗琳说自己写了四十个学生，可诸位要是去看过人名单，这名单里的人可没用完。有好些压根就没写在书里，还有些就在分院帽那章提过一句，提完了就拉倒了。

还有些人拿学校扫帚数量说事儿。

咱都上过学，有几个学校这类比较昂贵的交通工具人手一个？

你去驾校就能人手一台车让你练车了？

罗琳真正提霍格沃茨人数就两处：

　　他们走出更衣室，走向球场，喧闹的声浪扑面而来。四分之三的观众戴着鲜红色的玫瑰花，挥舞着绘有格兰芬多狮子的红旗子，或是打着“格兰芬多加油！”“狮子夺杯！”等字样的横幅。斯莱特林的球门柱后面有两百号人佩戴着绿色饰物，银蛇的图样在他们旗子上闪闪发亮。斯内普教授坐在第一排，也戴着绿色饰物，脸上挂着阴沉的笑容。

哈利三年级时，斯莱特林学院学生总数是不到三百人（原文是复数虚指）。但有一节，总人数不是七个年级，而是六个多年级。七年级时候学生就开始实习，有些就已经不在学校了，还有些人六年级 OWLs 考试就走了。

这其实是很多人推算老师授课强度的误区：从六年级开始，老师就开始往下刷人了。他们每学年只带一届经过挑选的提高班，其他人不收了。

魔药课就更妥了。斯拉格霍恩就教十二个：四个斯莱特林、四个拉文克劳、一个赫奇帕奇的厄尼麦克米兰，还有就是格兰芬多的哈利、罗恩和赫敏。

还有一处更容易被人忽略：

　　“那么，照你的说法，塞德里克迪戈里是自己倒下来死掉的喽？”哈利问，他的声音微微发颤。
　　全班同学同时倒吸了一口冷气，因为除了罗恩和赫敏，他们谁都没有听见哈利谈论过塞德里克遇难那天夜里发生的事情。他们急切地望望哈利，又望望乌姆里奇教授，只见她抬起眼睛盯着哈利，脸上再也看不见一丝假笑了。“塞德里克迪戈里的死是一场不幸的事故。”她冷冷地说。
　　“是谋杀。”哈利说。他感觉到自己浑身发抖。他几乎没有跟任何人谈过这件事，更不用说当着三十个竖起耳朵聆听的同班同学的面。“伏地魔杀死了他，你明明知道的。”

跟哈利同一年级的格兰芬多学生，三十人左右。因为黑魔法防御术相当于格斗实践课，因此只能小班上课，四个学院一个学院上一遍。也正因如此，哈利从来没有在这堂课上跟其他学院的同学交流过。

其实还有一堂课哈利没有和其他学院同学交流过：魔法史课。这是大班上课，应该是四个学院一起上课，大家集体睡觉。

大家可以自己去换算一下。

正因如此，罗琳后来在类似快问快答的采访中直接给出了粗暴的结论：

　　问：霍格沃茨有多少学生上学，每个学院每年有多少学生？
　　答：霍格沃茨大约有 1000 名学生。^[2]

一千名学生，全英国就三千巫师。是巫师疯了还是霍格沃茨疯了，或者干脆是接纳之笔准入之书疯了？

这还没算一堆的半人半兽呢：半人半妖精菲力乌斯弗立维、狼人莱姆斯卢平，还有一混血巨人鲁伯海格。这要是把吸血鬼算进来，那不就更热闹了？

还得清理出去一堆哑炮呢。

再就是，还有一部分巫师就是想把魔杖藏在床底下，就想过麻瓜生活呢。

再就是魔法部的人口规模：魔法部所有工作人员管理的不是某个市或某个郡，而是整个英国。

中国九百六十万平方公里，让一个南京警察管我一个成都人，谁出火车票钱呢？

任何一个国家，设置辖区确实是一个很现实的问题。

可巫师用不着啊，人家有闪现啊，人家有壁炉啊，人家可以全国到处跑啊。伦敦魔法部距离德文郡首府埃克塞特近三百公里，亚瑟回家一秒钟。伦敦距离格洛斯特郡迪安森林一百五十公里，三人组一秒钟就跑到了——这要是个通缉犯（三人组此时确实是），麻瓜警察说死了也追不上。

也正因如此，魔法部工作人员数量众多。但这同时也意味着，有海量的混血巫师就隐藏在人群中，把魔杖藏在床底下，像一个麻瓜一样过普通人的生活。

比如去麻瓜首相办公室应聘一个秘书岗——

　　首相尽量把腰板挺得直直的，回答道：“我对现有的安全措施很满意，非常感谢——”
　　“可是，我们不满意。”斯克林杰打断了他的话，“如果首相大人中了夺魂咒，麻瓜们可就要遭殃了。你办公室外间的那位新来的秘书——”
　　“我绝不会把金斯莱沙克尔赶走的，如果这就是你的建议的话！”首相激动地说，“他效率极高，做的工作是其他人的两倍——”
　　“那是因为他是个巫师，”斯克林杰说，脸上不带丝毫笑容，“一位训练有素的傲罗，专门派来保护你的。”

或者马马虎虎地学习麻瓜汽车，还要考驾照。当然了，这些马路杀手很遗憾地很容易考过——

　　“停车挺顺利吧？”罗恩问哈利，“我也是。赫敏不相信我能通过麻瓜驾驶考试，是不是啊，赫敏？她还以为我不得不对考官使混淆咒呢。”
　　“我可没有，”赫敏说，“我对你完全放心。”
　　“其实，我是使了混淆咒。”罗恩帮着把阿不思的箱子和猫头鹰搬上列车时，对哈利耳语道，“我只不过是忘了看后视镜，说实在的，我用超感咒也是一样的。”

当然了，只要不出事，麻瓜交通部门压根也不会在乎为什么就在车祸前一秒，即将相撞的两辆车为什么突然冻地上停住了。只有魔法部会操心有没有让麻瓜看见什么不该看见的。

而这些路人甲乙丙丁，都不会是罗琳会主动费心描写的。

因为毕竟——

她在第一册第一章前半部分和第二章后半部分就已经完完全全地写出来了。

沃尔巴克体

【多图预警，存在令人不适的发病图片】

作者：

花落成蚀

原出处：果壳网

2014 年，广东省爆发了中国历史上最严重的登革热疫情，到 11 月 2 日为止确诊病例 43010 例，超过历史病例总和。虽然入冬以来疫情已经趋于稳定，但是明年依然有卷土重来的可能——为此，广州市准备明年春季在南沙区沙仔岛试验一种新的控制方式：放蚊子。
咦？防控登革热的唯一方式就是和蚊子死磕，为什么反而要放蚊子？
这是因为它们不是一般的蚊子，这些“益蚊”身上携带着一件秘密武器——名为“沃尔巴克体”（Wolbachia）的微生物。理论上，这些不会盯人的雄蚊和未感染沃尔巴克体的雌蚊交配后，雌蚊不能生育，于是卵细胞会被浪费掉；而等到雌蚊也感染了这种细菌时，它们就能够正常生存繁衍下去，而且能对登革热病毒产生一定“免疫力”。如果实验成功，会比单纯消灭蚊子效果还要好，因为外来的蚊子现在就很难挤进来了。

而这个沃尔巴克体，可是一种了不得的微生物。它的演化史可能只有不到一亿年，但这小小的一个属，以蛮横的传播方式，至少征服了十分之二的昆虫，席卷了整个地球，甚至还创造了新的物种——一切都源于它对宿主的操控能力。
沃尔巴克体属于广义细菌，是一种立克次氏体，1924 年，在尖音库蚊（Culex pipiens）中首次发现，当时觉得它只不过是又一种寄生生物而已。20 多年后，科学家又发现库蚊属中常出现种内的生殖不亲和现象，明明是同一个种，交配后就是无法产下活的后代。又过了 20 年，科学家无意中发现，通过使用抗生素杀灭库蚊体内的沃尔巴克体，可以治愈种内生殖不亲和——原来这不起眼的小细菌居然是不育的元凶。
沃尔巴克体能通过细胞质来“遗传”。它们藏身于大个子的卵细胞当中，就像是线粒体等细胞器一样，被留给了下一代。雄性感染者的精子也被动了手脚。它们若是和同样被感染了的雌性交配，能够传宗接代；但要是和没有感染的雌性交配，就会出现细胞质不亲和，不会开花结果，简直比大铁棍子医院还省事儿。这样的传播方式是异常排他的，其结果必然是沃尔巴克体寄主越来越多。有科学家曾在实验室种群里做过传播实验，只要短短的数代，整个种群中感染者的比例就能达到 100%。

沃尔巴克体甚至能把自己的 DNA 片段转移到无脊椎动物的细胞核里。Nicolle Rager Fuller, National Science Foundation

这样的情况是如何产生的？有一种解释是：沃尔巴克体能给寄主的精子上一把连接着炸弹的锁，同时在卵细胞中留下钥匙，只有正确的钥匙才能打开锁，否则受精过程会毁掉精子和卵子。但这样的修饰是如何实现的，还有待研究。人们唯一确定的是，出现了细胞质不亲和的受精卵，有丝分裂会出现问题（于是，沃尔巴克体成了细胞生物学家的爱物）。
除了造成细胞质不亲和之外，沃尔巴克体还有几种控制宿主生殖的方法。诱导宿主孤雌生殖的能力，在它们当中出现了很多次，其中最好的例子是它们能让赤眼蜂（Trichogramma）产生可用抗生素“治好”的孤雌生殖能力。它们还能让雄性雌性化，控制普通鼠妇（Armadillidium vulgare）遗传上的雄性成为表现型上的雌性。它们甚至是调控某些昆虫种群内的雌雄比例。这些小混蛋真是把别人的性别玩弄于鼓掌之中。
但是光操纵昆虫的生殖和性别也太小儿科了，它还能干出更大的事情，比如寻找木马，入侵更大的生物。
在非洲有一种可怕的疾病叫做河盲症，一直以来被人当做寄生虫病。病原体盘尾丝虫会像恐怖片一样钻入人类的眼球当中，导致永久失明。疫区内常常会出现小孩领着一群失明成年人行路的情景。为了躲避这种疾病，许多肥沃的土地被抛弃，人们不得不背井离乡。

河盲症疫区内的惨状。Otis Historical Archives Nat’l Museum of Health & Medicine

和很多寄生虫不一样，盘尾丝虫的生活史是个闭环。它们生于人类的身体，成长于中间宿主蚋（Simulium）的体内，最终又回到另一个人类的身体当中。盘尾丝虫的雌性成体，在人类的体内可以活上 15 年，一生最多能生产出 3000 多个幼体。幼体称作微丝蚴，它们会进入循环系统，过上一、两年“自由”的生活，期待命运带来一只疯狂吸血的雌蚋，好在后者体内进入生命的下一阶段。若这只雌蚋和体内的寄生虫运气足够好，它们还能再找到一个人类，盘尾丝虫的幼虫就有可能进入它们唯一的终末宿主人类的体内，最终成年。
身为寄生虫已经让宿主很难受了，但是这还不算什么。能够抵达盘尾丝虫“虫生”巅峰的个体当然只是少数，剩下的微丝蚴会死在人体中，裂解的身体会释放出一种有害的物体——这才是最可怕的东西，会导致人体出现严重的炎症以及发痒、水肿等皮肤病变。若微丝蚴钻入人的眼球当中，它们体内的有害物也会导致眼球的病变，长此以往，人就瞎了。

河盲症患者的眼睛。Pak Sang Lee, Community Eye Health Journal

而这个有害物体，就是沃尔巴克体。
自从人类发现了丝虫体内原来另有元凶，新的战术——抗生素治疗出现了。丝虫本身不怕抗生素，但沃尔巴克体怕。体内没有这种细菌的微丝蚴对寄主的毒性低，不再有致盲的能力；人们甚至发现，缺失了沃尔巴克体的盘尾丝虫甚至生活都不能自理，不再能繁殖和生存。
同样的事情，也发生在其他几种丝虫造成的寄生虫疾病上。象皮病的病原体血丝虫体内也有沃尔巴克体，它们与血丝虫造成的破坏也显著相关。使用抗生素之后，沃尔巴克体被杀灭，血丝虫也不能存活。因此，用抗生素对抗象皮病或许也是个办法。

《贝尔维尤的维纳斯》，摄影师 Oscar G. Mason 最著名的作品之一，拍摄的是一位身患象皮肿的妇女。

看起来，沃尔巴克体似乎是在和这些丝虫共生，合体成为致命的寄生虫。它们的关系何以如此恩爱？为何配合起来残害人类时如此无间？答案不是很清楚。但一些证据显示，沃尔巴克体与这些丝虫的演化、新种的产生，有那么一些关系。或许就是这种关系，让丝虫成为了装载士兵的木马，攻入了人体这座伊利昂大城。

近二十年来，借助 PCR 等迅猛发展的生物化学工具，人类发现到沃尔巴克体的分布远比之前所想的要广泛。有统计显示，不同地区的昆虫，一般都有 16-22%的感染率，陆地等足动物约有 35%的感染率，捕食螨的感染率甚至可达 60%——要知道，沃尔巴克体仅仅是一个属，居然能在节肢动物门、线虫动物门两个门、数个纲中造成如此广泛的感染，这些数字实在是让人惊奇。
沃尔巴克体拥有强悍的横向传播能力，昆虫间的捕食、寄生、血液接触等活动，都有可能导致细菌在种间的感染。例如，广赤眼蜂（T. evanescens）体内含有的沃尔巴克体，同宿主麦蛾重合度就非常高。这样的横向传播，无疑会增加这种细菌传播的速度和广度。
但沃尔巴克体真的就一定会对宿主带来伤害么？
答案显然是否定的。有些时候，这些寄生细菌会表现出活雷锋的一面，增强宿主的繁殖力——这似乎和人们最早认识的那种沃尔巴克体迥然不同。曾有人拿突眼蝇做了个实验，若是去除了它们体内的沃尔巴克体，雄性倒不会不举，但生殖能力会大幅下降。至于杂拟谷盗（Tribolium confusum）就更喜感了。若是携带沃尔巴克体的雄性和不携带的雄性都和同一个雌性交配，前者的精子在细菌的加持之下会变得异常生猛，几乎霸占所有的卵细胞。最为神奇的例子来自于果蝇。生物学家们经常 “玩坏”果蝇，曾有人发现，沃尔巴克体甚至能部分挽回被辐射破坏的繁殖能力。

感染了沃尔巴克体的果蝇细胞的共聚焦显微图像，图中红色的是细胞核，绿色的是沃尔巴克体。scienceblogs.com.br
在这种情况下，我们该说沃尔巴克体是一种寄生菌，还是共生菌呢？这家伙帮宿主提高生殖力，除了让自己传播得更广，就没有别的目的了么？
有个例子显示，至少部分沃尔巴克体，在演化中会变得对宿主更有利。
20 世纪 80 年代中旬，美国人在加州南部的拟果蝇（Drosophila simulans）体内发现了沃尔巴克体，并且确认在北方没有。短短十年不到，这脉支系向北冲了 700 多公里，所有这一切，靠的只是自然传播。伴随着快速传播的，是属性的改变。一开始它们除了会造成细胞质不亲和，还会导致雌性的繁殖力下降 15-20%。但 20 年之后，情况反了过来，它们反而能让宿主多产下 10%的卵。
此外，沃尔巴克体会造成新种的产生，它们是推动演化的发动机，拥有强劲的动力。

吉氏金小蜂（Nasonia giraulti）和长角丽金小蜂（N. longicornis）是关系特别近的近亲，它们在一起时根本就把持不住，会不由自主的交配。但悲惨的是，子代中的雄性都会死去，永远不会有喜当爹或是让别人喜当爹的可能。但是，如果我们（再一次）使出抗生素这个大招，吉氏金小蜂同丽蝇蛹集金小蜂的杂交后代都能够存活下来。如果这还不能让你相信沃尔巴克体造成了它们之间的生殖隔离，我们还能让能互相交配的不带菌的两种金小蜂重新感染各自的沃尔巴克体，生殖隔离立马会上演“王者归来”。这两个物种，根本就是因为同一祖先体内出现了不同的沃尔巴克体而产生了生殖隔离，生生的变成了两个种。

在害虫防治时，有这样一种可行的思路：让精子无活性但还能完成交配的雄性，去祸害野生的雌性，浪费掉珍贵的卵细胞。看起来，常常会对精子动手脚的沃尔巴克体，似乎能这样利用。但实际上，这种细菌可以做的事儿远比这要多。
它们很可能拥有成为人类抵御登革热、疟疾等疾病的坚盾与利剑。
近五年内，人类发现沃尔巴克体能够帮助昆虫抵御单链 RNA 病毒，它们能够干扰这些病毒的复制，从而保护宿主。于是，有研究者脑洞大开：登革病毒也是单链 RNA 病毒，沃尔巴克体是否也有效呢？结果还真的给蒙中了。给携带了沃尔巴克体的埃及伊蚊喂食富含登革病毒的血液，7 天、14 天时的阳性比例分别只有 5%和 8%。而在相同情况下，未携带沃尔巴克体的埃及伊蚊 7 天、14 天时的阳性比例高达 70%、75%。
更为主动的一个成就，来自于中山大学中山医学院。那儿的研究人员主动筛选出了合适的菌株，将其注射进传播疟疾同时难以感染沃尔巴克体的按蚊卵内，成功让这些害虫稳定的带上了“镣铐”。这样处理的按蚊，虽然还是会传播疟疾，但是效率大大降低。
除此之外，利用沃尔巴克体的思路还有很多。让害虫天敌寄生蜂进行孤雌生殖，繁殖的更快？没问题。让沃尔巴克体降低害虫的寿命和繁殖力？也可以。这些方法，都有人研究，但都离实际运用有那么一点距离，实验也需要谨慎为之。不过，这二十年来科学界对这种小小的微生物兴趣越来越大。在未来 10 年内，有关沃尔巴克体利用的研究，或许会越来越多。
沃尔巴克体在科研领域内特别红，近几十年内一大批科学家围绕它做了许多研究，它有成为一种模式生物的趋势。在美国，有科学家开展了一项名为 Wolbachia Project 的项目，号召中学生运用学校里可以用到的分子生物学工具帮他们找沃尔巴克体。
只不过，在中文科普领域，它们还欠缺一些关注。很显然，这些怪异的“恶霸客”传奇般的特性，配得上为之大书特书。（编辑：Ent）

参考文献

1. John H. Werren (1997) Biology of Wolbachia
2. 褚栋 张友军 毕玉平 付海滨 (2005) Wolbachia属共生菌及其对节肢动物宿主适合度的影响 微生物学报
3. 钟敏 沈佐锐 Wolbachia 在我国广赤眼蜂种群内的感染 中国论文在线
4. 宋月 王哲 刘宏岳 沈佐锐 （2008）北京地区亚洲玉米螟种群中Wolbachia超感染 昆虫学报
5. Nina Hafer Nathan Pike （2010）Shape change in viable eggs of the collembolan Folsomia candida provides insight into the role of Wolbachia endosymbionts Zoological Research
6. 张东京 詹希美 郑小英 （2011）利用Wolbachia控制登革热传播的研究进展 国际医学寄生虫病杂志
7. 张海燕 张 莹 丛 斌 钱海涛 董 辉 付海滨（2009）外界生态因子对感染 Wolbachia 的松毛虫赤眼蜂生殖稳定性影响 中国农业科学
8. Ame lie. Saint Andre Nathan M. Blackwell et al.（2002）The Role of Endosymbiotic Wolbachia Bacteria in the Pathogenesis of River Blindness Science
9. Lauren M. Hedges Jeremy C. Brownlie Scott L. O’Neill Karyn N. Johnson (2008) Wolbachia and Virus Protection in Insects Science
10. 董鹏 王进军（2006）沃尔巴克氏体对宿主的生殖调控作用及其研究进展 昆虫知识
11. 潘雪红 何余容 （2011）Wolbachia 在短管赤眼蜂和拟澳洲赤眼蜂种间的水平传递 西北农业学报
12. Seth R. Bordenstein F. Patrick O’Hara John H. Werren (2001) Wolbachia-induced incompatibility precedes other hybrid incompatibilities in Nasonia Nature
13. Mark J. Taylor Claudio Bandi and Achim Hoerauf (2005) Wolbachia Bacterial Endosymbionts of Filarial Nematodes
14. Guowu Bian Deepak Joshi Yuemei Dong et al. (2013) Wolbachia Invades Anopheles stephensi Populations and Induces Refractoriness to Plasmodium Infection Science

转自：微生物木马，控制蚊子的秘密武器？
本文版权属于果壳网（guokr.com），转载请注明出处。商业使用请联系果壳

你只要能用上银子，你就不是穷人了。

《双旗镇刀客》里面游侠沙里飞，常年在酒馆骗吃骗喝挂账不给钱，

老板一催就说，

看见爷这刀把没？纯银的，把你这个店买下来还得找钱。

老板无奈还得让他赊。

北宋以前夏秋两税基本都是缴实物，中央的赋税收上来按照贯、石、匹、两的不同种类的折算标准出个大致的总额，实际上难以准确算出，

贯里的钱还分为铜钱和铁钱，大钱和小钱，

匹里也分不同种类，不同品质的纺织品。

连中央收税都没有完全货币化，不少穷困地方的老百姓，以物易物，以粮和帛买物，以物纳税已经上千年了，压根就不参与货币经济。

金银贵金属对小门小户来说完全不实用，流通不了，容易被骗，还压根就没有足够的实物支撑这个媒介，灾年银子不能吃也不能当成种子，啥也买不到，铜钱都见得少，别说银子了。

举个例子，你们家养了头小猪，打猪草喂糠皮，好不容易养到一百多斤，这时候儿子娶亲要摆酒席，你就把猪赶出猪圈，再背上一匹土布，用这两个作价，找个本地做流水席营生的，

约定哪天哪天，要摆多少桌酒席，时蔬餐具都是他置办，当天听吆喝红白事的安排，你就可以放心忙别的去了。

办酒席的人把猪赶到自己的猪圈里，拿点东西先喂着，不要掉膘了，约个屠夫，到时候去屠宰收拾猪，报酬是猪下水一副，酒席上给他俩位置自行分配，再约十几个农妇帮忙，一样没什么工钱可付，带走点肉菜就算报酬了。

总之，这一套循环下来，主家付的实物，小孩结婚能收一些实物的贺礼，比如粮食布匹，如果有铜钱，这个铜钱就挺金贵的，一般也不会拿出来用。

有那种远道而来的货郎，时鲜的小玩意，或者贩刀具贩瓷器的客商，拿出铜钱来给他，买些俏货。

实在没有现钱，给他稻谷他收不？

当然也收，他拿着稻谷去下一个地方看能不能换成钱。

很多卖糖瓜，吹糖人，卖小玩意儿的货郎很招人恨，就是他们只收铜板，搞个什么大拨浪鼓，铜铙，木头梆或者干脆吆喝，卖糖，卖糖之类的，

然后小朋友就馋的哭的稀里哗啦的，一开始说不让吃，有毒，骗人的，随着小孩哭的越来越伤心，老太太心疼大宝孙，就从嫁妆箱子的顶顶里头掏出个蓝布包包，一层一层打开，检出一个大子儿，交给新媳妇带着小孩去买糖，

然后小孩一脸鼻涕喜笑颜开的舔着糖块回来了，一路上看到的小孩也被馋的哇哇哭，回家作大人，就这么周而复始的生活。

现钱对于农耕家庭来说是相当宝贵的，因为每一次卖出农产品，获得银钱的过程，都经受盘剥，盗抢，伪币和物价波动的种种风险，花出去再赚回来就难了。

小孩嘴里常说的，拉钩上吊，一百年不许变，

不是指谁违背了承诺就去上吊，

指的是铜板穿过吊绳的这个过程。

因为铜板小户人家也就百来个，几百个顶天了，一旦凑齐一吊，钱可以有上吊的资格了，可以用贯绳穿起来了，这事就很大，很郑重了。

比如朋友手头紧，向你借一百个钱，千求万求的，你又不好意思说不想借，就说这钱上了吊了，意思是万难打开，确实没办法借。

家里有一两贯钱，那和所谓的万元户差不多。

后面王安石变法，北宋南宋疯狂加税，大幅提高税收中的铜钱比例，增加一些必须收铜钱的税种，

很多之前不参与较少参与货币经济的农民被迫去卖自己产出的农产品去缴税，

自然是卖的时候卖的少，买的时候花钱多。

就比如刚刚讲的儿子结婚办酒席的事情，因为大家都要缴免役钱，均摊到一个人身上，一年几百个大子儿，于是都希望现钱结账。

卖猪卖布匹，然后拿着钱去雇人办酒席，办酒席的也雇人杀猪，雇人去弄菜，

农民因为完全不掌握铸币机器，所以越过越穷，

财富向极少部分人聚集，少部分人拿到了大量的贯、石、匹、两，

最后又会因为前面贯、石、匹储存很占地方，于是慢慢开始有了银两的积蓄。

银锭是顶层人物互相交易攀附乃至使用的高级版本的货币，底层根本见不到。

看看《百万英镑》，

只要我这钱足够大，吃你几个破牛排，你找不开你也没办法管我要零钱。

底层老百姓对大票是很敬畏的。

90 年代初的时候，还有拿年画印刷的 100 块钱大票骗农民的，

买牛的时候付年画，一米多长，说辞是那么小的一张都是一百块，我这个这么巨大，更宝贵了。

今天人别觉得这简直是骗小孩，因为没接触过大额纸币的老百姓还是太多太多了。

明代白银大量流入中国，给东南沿海和运河官道沿线的百姓有了接触白银，使用白银的机会，

便携的就是戥子，

钱庄坐商还会用上天平砝码，

不同成色的白银经过称重，加上平水，兑换成相应的本地官银，或者铜钱数量，

银的真伪，质量，成色，比命还重，小看这个就会倾家荡产。

古往今来关于银锭使诈行骗的小故事简直不要太多了，背后就是要么老百姓不敢收银子，就能白吃白喝，用这一锭银白嫖到永远，要么就是商家贪图这些银子，最后拿到的是做手脚的伪银。

最经典的，老翁拿着一锭银，重一斤一两多，和儿子的信，信上说托人捎给我父一斤银锭，嘱咐他兑成铜钱养老，

老翁装着不识字问商家，商家一看信上是一斤，银锭是一斤多，就觉得肯定是儿子疏忽了或者带的人给错了，

然后商家争着给老翁兑银，吃那一两多的银子。

结果当然是银子是假银，商家抓老翁见官，老翁拿出信，信上写明一斤，说明假银不是儿子托人带回来的，

没有傻子连自己的银子重量是多少都会写错。

商家哑巴吃黄连，知道自己贪心然后被套路。

各地不同的银子成色和民众对真伪难辨的恐惧，催生出票号和银号，

TVB 拍过以银号为题材的电视剧，里面有非常详细的描述，怎么对银票防伪，怎么看各地成色的银两，出自山西票号方便汇兑各地银锭编出的口诀。

天津化宝松江京，纹（番）银出在广朝城，

上海豆规诚别致，公估纹银西安行；

票色重贵足纹厚，云南票锭莫忘情，

川白锭出成都省，荆沙老银沙市倾；

二四估宝属武汉，桂梧化银记分明，

常纹周在湘潭县，长沙用项银出名，

常德市纹银为主，金陵项化是足色，

粗俗不堪人目视，诚恐难记随口诵。

“一：京都大锭 其银丝细到门者，申三色。若丝粗朗并钩丝者，此银申二色。倘或宽铅丝心中无釉者，元丝也。倘若面底皆嫩宽铅起者，去一二色。再次不等，惟自裁之。
二：京都撇子，其曹圆，色白，黑釉，丝稀，高者，元丝。京撇子钱，身分老气宽铅丝者，去一二色。若蜂窝大嫩气者，去三四色。白茶脚去三色。若白青脚起白竖心者，去五六色。”《商贾便览》
这两段描述中，前者“京都大锭”，即早期的中型马蹄锭，也就是后来的北京十足银器型的前身。这种“京都大锭”，又被称为京鏪
京平足银 1000 两 = 市平松江银 1000 两
京平足银 1000 两 = 市平足银 980 两
市平松江银 1000 两 = 市平足银 980 两
京平松江银 1000 两 = 市平足银 960 两
京平松江银 1000 两 = 京平足银 980 两

一般老百姓试试？能算明白这些银锭的成色就怪了，

虽说元宝的两头被做成了易于拿剪子剪开然后称重的设计，并不意味着平民有足够的知识储备认出元宝或者银锭来自什么产地。直接剪下来花，会被商户以平水的理由杀很多，败家子才这么花钱。

实际就像我说的，

本地的大户大地主和有购买力的人群，在本地消费的时候，多采用挂账的形式，一年也就结三到四次。

每次结给现钱的也不多，通常是给一部分现钱，加上石匹实物，不拿什么乱七八糟的东西抵账就已经很良心了。

小商户还不能得罪这些大户，

到今天都是这样，做工程的，做家装的，开的车都不是自己买的，基本都是顶账顶来的。

我装修半包的价格正好和我开的车差不多的钱，

工头很爽快的给我干活，垫钱做，因为他也想让我用车子给他顶账，他觉得双方都占便宜，我省了现钱，他对我车知根知底。

知道我舍不得给他用车结款的时候，赶紧要尾款，三天一催，原本的账期也没有了，生意人其实就是这样的。

当然最后我还是给他结了现金，然后现在挺想开小米的发现油车天塌了这是后话了。

总之在清中期，土地的集中化已经很高了，4%左右的人口就掌握一半的土地，这也就是摊丁入亩算是一项德政的原因，因为只有最顶层的不到 5%的人，感受到了摊丁入亩多出来的税负，其他少地地主对摊丁入亩是很淡定的，无地的佃农当然最高兴了。

本地的地主阶层在购买力上始终是碾压的，而且因为白银涌入后又外流，银价反而越来越贵。

尤其是银元，很多人不理解教员家庭拿出银元供他读书就是妥妥的富农家庭了，

因为银元有难以伪造的工艺，象征足值和硬通货，在中国能兑出全世界都没有的价值。

能掏出银元花的家庭，真就是金字塔尖。

很多穷人一辈子穷到死，手上可能都没拿过一两银子，都没捏到过一个大洋。

我曾一度怀疑我之前养的那只狸花猫成精了

18 年在成都创业，我和两个朋友（其中一个带了女朋友）合租了一套房，从前老板手里抱走了他养了一年的狸花猫，那只狸花一开始就是乖巧，正常的那种乖巧，不让进屋她绝对不进的那种

后来某天我们仨去税务局有事，我那朋友的女朋友留家里打扫卫生，结果出门倒垃圾的时候没带钥匙，不小心把门还关上了

然后狸花给她开的门

当时我们知道后就觉得很惊讶，但毕竟没亲眼所见，所以没啥冲击感

直到后来，我那朋友养了条小奶狗，就半个月不到走路都摇摇晃晃的那种

可我这朋友吧不爱遛狗，于是……

狸花教这只狗去小区花坛拉屎，教它怎么吃猫粮喝水，晚上七点固定了还要出门遛狗，半个小时后把狗送回来再自己出去玩

猫遛狗啊兄弟，我这辈子第一次见，还是每晚七点雷打不动

绝了！

后来我才知道，她带着狗跑隔壁小卖部要火腿肠来吃，完了溜达两圈消完食再回来的

哦对，因为后来去长春就没带上她，把她送给了隔壁小卖部的阿姨，反正在我离开成都之前，这猫已经是半个小区的老大了

如果我们将两个 4G 内存插入内存插槽，得到的内存地址空间是 0 到 8G 吗？是不是 0 到 4G 是第一根内存，4 到 8G 是第二根内存呢？实际情况相差甚远，内存在物理地址空间的映射是分散的。一部分原因是 4G 以下有 Memory map IO（mmio）空间和 PCIe 的配置空间，另一个原因是 Interleaving 会打撒内存地址到各个 Channel、DIMM 甚至是 Rank 和 bank 上。今天我们就一起来了解一下 x86 系统的地址空间分布。

物理地址空间

一个典型的物理地址空间是这样的：

其中只有灰色部分是真正的内存，其余都是 MMIO。而内存被分为 High DRAM 和 Low DRAM，如图：

为什么要把内存强行分割成两块呢？因为历史的包袱。最早内存都很小，32 位的地址（4G）空间看起来永远也用不完，低地址被分配给内存用，高地址就自然而然被分配用来给 Memory map IO。既然已经分给它们了，为了兼容以前的驱动，这一块就被固定下来。再有内存就只能从 4G 以上分配了。

Low MMIO 和 High MMIO

Low MMIO 结构如下图：

其中有几块要特别说明一下：

1.Boot Vector 的空间是 BIOS 内容映射的地址，它的大小是可以调节的，为了满足不同大小的 BIOS。

2.Local APIC 是 APIC 中断模式各个内核 local APIC 寄存器的映射地址。APIC 的中断可以参考这篇文章：

老狼：计算机中断体系二：中断处理

３.PCI ECAM 也有叫做 PCIBAR，是 PCIe 配置地址空间的映射地址。它的起始地址可调，台式机 BIOS 一般会把它设置得很高，这样 4G 以下内存会比较大，方便 32 位 Windows 使用。举个例子，如果我们把 PCIe BAR（BEGREG）设为 0x80000000，那么尽管插了 8G DIMM，4G 以下也不会超过 2G 的内存可以使用，而 2 到 8G 的真实内存都被映射到在 4G 地址空间以上了，而这些是 32 位 Windows 使用不了的。所以有的主板运行 32 位操作系统发现可用内存小了一大块就是这个原因。它的大小可以修改，一般可以设为 64MB 和 128MB。PCIe 的详细内容可以参考这篇文章：

老狼：深入 PCI 与 PCIe 之二：软件篇

High MMIO 被 BIOS 保留作为 64 位 mmio 分配之用，例如 PCIe 的 64 位 BAR 等。

Low DRAM 和 High DRAM

4G 以下内存最高地址叫做 BMBOUND，也有叫做 Top of Low Usable DRAM (TOLUD) 。BIOS 也并不是把这些都报告给操作系统，而是要在里面划分出一部分给核显、ME 和 SMM 等功能：

4G 以上的内存最高端叫做 Top of Up Usable DRAM (TOUUD) ，再上面就是 High MMIO 了。

1MB 以下比较特殊，里面全部都是已经被淘汰的传统 BIOS 和 DOS 关心的内容，我们叫它 DOS Space 或者 Legacy Region：

在那里，我们习惯用传统的实模式地址来划分它们的具体内容：

1.0~640KB，传统 DOS 空间。

2.A 段和 B 段，传统 SMM 空间。VGA 的 MMIO 也被映射到这里，可以通过寄存器切换。

3.C 段和 D 段，legacy opROM 映射空间和 EBDA 空间。

4.E 段和 F 段，BIOS 空间的 Lower 和 Upper 映射地址。BIOS 的 rom 内容也会被映射到这里，方便 Legacy BIOS 实模式跳转到保护模式。

内存的 Interleave

从前面可以看出内存在地址空间上被拆分成两块：Low DRAM 和 High DRAM。那么在每块地址空间上分配连续吗？现代内存系统在引入多通道后，为了规避数据的局部性（这也是 Cache 为什么起作用的原因）对多通道性能的影响，BIOS 基本缺省全部开启了 Interleaving，过去美好的 DIMM 0 和 DIMM 1 挨个连续分配的日子一去不复返了。

什么是 Interleaving？简单来说，就是让内存交错起来，如下面的动图：

这是一个 bank 层级的模 4 的 interleaving。在桌面电脑上，常见的还有 Channel 级的、DIMM 级的和 Rank 级的。Channel/DIMM/Rank/bank 这些概念可以参考这两篇文章：

老狼：内存系列一：快速读懂内存条标签老狼：内存系列二：深入理解硬件原理

服务器上 Interleaving 更是不可或缺，它的粒度更细，可以达到数十 bytes 层级的 interleave，它和内存的其他特性，如类似磁盘阵列 RAID 的内存 spare, mirror 特性，构成了复杂异常的内存映射系统。在 BIOS 里面，台式机 / 笔记本内存映射相对简单，只有一个大表和数十个寄存器；而在服务器 BIOS 中，有数个相互关联的大表和寄存器阵列来解码（decode）内存的请求，代码的硬件逻辑也是相当复杂。关于它，我会有一篇专栏文章讨论地址译码和地址反向解码，详细内容那里再说，这里只需要知道，物理内存分布在各个 DIMM 上就够了。

物理地址到内存单元的反推

BIOS 实际上一手导演的内存的分配，它当然可以从任何物理地址反推回内存的单元地址。我们可以用下面一组数据来唯一确定某个内存单元：

Channel #;DIMM #; Rank #;Bank #;Row #;Column #

在内存分配表缺失的情况下，BIOS 甚至可以通过它填过的寄存器重建这个映射表。但实际上 BIOS 并不希望一般用户知道这些信息，因为有安全性问题。

暴露内存信息容易招来内存侧信道攻击（Side Channel），比较有名的有 Row hammer 攻击。简单的来说它是通过反复写某个内存单元，借助内存的特性，希望影响相邻 Row/Column 的内容。详细内容可以参考这里：

老狼：内存不刷新会怎样？内存的物理攻击和旁路攻击

有些情况确实需要知道这些信息，就是内存出错的时候。和大家想象的不同，内存是会出错的。尤其云服务器中内存的出错是十分频繁的。出错起来也千奇百怪，开始可能是偶尔的随机错误，经过 ECC 等校正后，就再也不会复现；而有时是某个 Bit 总是出错，进而慢慢的整个 row、column 或者相邻的 cell 开始出错，从可以纠正的错误变成不可修正的错误，导致服务器必须停机。这时候就必须知道哪个内存坏了，进而换掉它。BIOS 的报错是通过 WHEA:

老狼：WHEA 原理和架构

报告给操作系统，但这个信息里面只有物理地址，如何才能知道是哪个内存单元坏了呢？在 Linux 上面可以通过 edca(参考资料 4)，有编程经验的同学可以通过 edca 的程序接口（参考资料 3），可以得到更加丰富的信息。

如何关掉 Interleaving

对内存有特殊需求的朋友，如果希望内存连续，可以在 BIOS 里面关闭所有的Interleaving 来达成这个目标：

注意是所有的。之后可以通过 SMBIOS 来看到内存分布信息（dmidecode）。

结论

BIOS 作为内存的大管家，也负责内存的分配和映射 memory map。它会把这些信息通过 E820, GetMemoryMap 函数和 SMBIOS 传递给操作系统。操作系统在此基础上再建立页表，产生虚拟地址。

另一篇相关的文章:

老狼：神秘消失的内存去哪了？

BIOS 培训云课堂：

卓易云课堂

参考资料：

实际上从天体物理和核物理的角度上来说，不太可能出现同时缺少铁和碳元素的星球，除非它是一个第三星族恒星……

然后说正题，人类广泛使用铁基金属一方面是因为铁本身相对易于获得，炼铁所需的工艺水平相当之低。但我个人的看法是铁本身的独特属性可能更为重要。

在系统学习金属材料的时候就会发现铁是一个非常独特的金属。可以具体列出这么几个：

1. 铁作为一个室温为体心立方结构的金属，其室温韧性居然出奇的好。从金属结构上来说，体心立方金属的韧性应该相对较差一点，典型的例子就是 Cr、W 这些金属。当然，铁也不是唯一有这个特点的，比如另一个过渡金属钒，也是体心立方结构，也具有很好的室温韧性。
2. 作为一个体心立方金属，铁的韧脆转变温度低于常见温度（除非去南极，一般碰不上）。这点钨等金属哭晕在厕所。另一个是钒，钒具有更低的韧脆转变温度，但是……
3. 铁有一个重要的面心立方（奥氏体）/ 体心立方（铁素体）相变。像这种在接近单质态时具有最密堆积到次密堆积形式的一级相变的金属是很少的，尤其是相变前后的力学性能都还很不错。由于中间多了一个相变且其奥氏体和铁素体的碳溶解度有一定差异，就为热处理赋予了极大的自由度。所以有的老师会说天下钢铁工艺一旦，热处理独占七斗的说法。实际上几乎没有任何一种材料的热处理工艺能有钢铁这么丰富。
4. 铁的面心立方（奥氏体）/ 体心立方（铁素体）相变受化学成分影响大。如果需要的化可以做出超大范围的改变，甚至得到不会发生相变的奥氏体或者铁素体钢。所以从极低温到高温都有铁的身影……另一个相似的金属是钛，但是很可惜没有铁的两相互补性强。
5. 铁对杂质元素很不敏感，基本是最粗糙的元素之一，杂质多了性能会下降，但不会直接死给你看。相比之下，钒这家伙尽管室温韧性很好，但是杂质一多就分分钟碎给你看。
6. 奥氏体几乎没有磁性，而铁素体还有一个铁磁 / 顺磁转变。所以铁能在磁性上玩很多花活。
7. 铁还有一个神奇的亚稳的面心立方（奥氏体）/ 体心四方（马氏体）相变。这种亚稳态的相变与其中固溶的碳有显著关系，导致铁碳合金体系可以轻易实现过饱和固溶体并同时降低晶体对称性。巧就巧在这个晶体对称性的降低没有那么多，马氏体仍然可以近似看做是体心立方结构，（参考 1）这家伙在剧烈强化（过饱和固溶、快冷缺陷多等）的同时居然韧性还可以。钛合金也有类似性质，但是效果不如铁（钛合金的马氏体太弱了）。
8. 铁的化学性质不那么活泼，冶炼铁不需要高端技术，完全可以依靠化学过程进行。作为对比凡是能和铁一战的金属，没有一个是好冶炼的（比如钛），凡是比铁好冶炼的，力学性能上都能被钢铁秒成渣渣（比如铜）。
9. 更神奇的事铁这家伙室温性能不错的同时，高温性能居然也可以。
10. 铁能自发的形成氧化膜。注意这点和中学课本不一样，铁是可以自发形成氧化膜的（不是铁锈，是氧化膜）。但是铁的氧化膜保护作用不强，因为氧化铁中氧扩散较强。但是神奇的部分来了，铁作为金属和重要的耐蚀元素（Cr 或者 Al）都是固溶的，但是铁的氧化物，他与耐蚀元素的氧化物基本都是不怎么固溶的。所以，他不会破坏耐蚀元素形成的保护层。所以这家伙的耐蚀性居然可以很好……
11. 铁的密度相当合理。其实几乎在任何场合，铁的密度都不至于太差。虽然相比轻金属大点，但是也没大到完全不可接受。实际上如果铁具有铜的密度（8.9），马斯克就得考虑考虑能不能造不锈钢火箭了。
12. 实际上从材料结构上来考虑，铁是很特殊的。晶体缺陷的研究表明铁素体中的缺陷聚集形态和多数体心立方金属都不一样，比如特立独行的 100 型位错环。另一个特立独行的是钒，这家伙顶着体心立方金属的名头，变形的时候却像面心立方金属那样很容易出孪晶。

还有一些特点是他的主要合金元素碳赋予的，铁碳合金实际上并不那么好操控，这也是为什么钢比铸铁晚那么多才出现的原因。但是好就好在，即使不那么理想的铸铁，性能依然相当可以：

1. 碳是小原子，在铁中的扩散速度快，相对容易实现均匀化。这点秒杀无数合金，很多铜合金动不动就要好几天的均匀化热处理。同时也意味着可以比较容易得对铁碳合金脱碳和增碳。
2. 铁的碳化物没有那么稳定，所以铸铁缓慢冷却时可以得到铁碳固溶体 + 石墨的组织。避免了产生大量碳化物导致的硬脆。也赋予了通过热处理或者添加其他元素形成或者消除碳化物的能力。
3. 上一条导致了铁碳合金体系的一个特色，就是这家伙是 2 个元素的三相平衡，实际上铁碳平衡是由铁 – 石墨和铁 – 渗碳体两个平衡体系共同建立的。即使是在铸铁中都能给你玩出花来。
4. 石墨这个东西尽管会破坏铁的力学性能，但是这家伙导热极好，能缓解热应力。
5. 还是石墨这个家伙，当铁水冷却时石墨析出，这个过程体积的膨胀的。而我们都知道热胀冷缩，所以石墨的析出恰好一定程度上对消掉了凝固收缩。这能让其他合金体系羡慕死。
6. 石墨具有六方晶系的结构，拥有两个特殊的生长方向（a 方向：六边形方向，c 方向：垂直六边形方向）。这导致通过改变石墨生长方向可以赋予石墨不同的形态，于是就有了力学性能较差但是减震、传热和冶炼容易得灰铸铁，以及力学性能很好的球墨铸铁（某些性能堪比碳钢）。

对着元素周期表翻一遍，基本上找不出第二个元素能把这么多特点集合到一起。这也是为什么现在的金属材料体系分为钢铁材料和非铁材料（有色合金）两大块的原因。

另外，所有钢铁之外的金属材料加起来，使用量都远低于钢铁。所以通常分类是：铁、钢、有色合金。实际上几乎所有金属结构材料都能找到他的钢铁替代品（一般性能要差）。比如高温合金的替代品（耐热钢和铁基高温合金）、轻合金的替代品（轻质钢）等等。

哦对，人类到目前为止有且仅有一种材料的使用规模可以与钢铁相比，就是水泥。

所以曾经有这么一个段子，如果评选人类最重要的材料的话，钢铁和水泥花落谁家不好说，但是如果选两个的话，绝对找不出第三个候选……

应评论区要求继续更一下：

继续说一下铁，关于铁的冶炼。其实铁的另一个特点就是铁碳相图在碳含量为 4.3%左右时有一个共晶相变，相变温度只有 1148 度。这一温度甚至比纯铜的熔点都高不了多少。所以，熔炼铸铁非常容易。

而铁和碳这个组合我们前面已经说了，扩散是很快的。大家不要被固态扩散给吓到，相比于有色合金中的扩散，铁中的碳扩散可以说是飞速了（作为对比，氢扩散就可以说是光速了）。这就导致我们无论是给熟铁（近似认为是纯铁）加碳还是给生铁脱碳都相对容易。

这就让人类在获得熔炼钢的高温之前，就能获得钢。比如在凡尔纳创作的《神秘岛》中就介绍了两种主要的制造钢铁的思路：海绵铁锻打加碳和生铁脱碳。前者就是我们的老祖宗最开始的炼钢工艺，后者其实在网上更有名，大名鼎鼎的大马士革钢就是用这种原理生产的。这种方法的基本工艺是把生铁和高碳的铸铁或者高碳钢混合起来，或者用脱碳剂把（比如铁矿石）高碳铁包裹起来，然后锻打，实现脱碳。

（这个和锻造是不一样的，脱碳是主要目的，每次变形量很小，所以不容易开裂。当然了，当时也做不到大变形）

这种工艺在别的合金体系简直是不可想象的

而实际上还有一个其他合金体系羡慕死的特性：钢铁的主合金元素是碳，炼铁的燃料是什么？还是碳。炼铁的时候什么东西还原的氧化铁，一氧化碳。铁水也好，铸铁也好，脱碳用的是什么？氧（氧化物或者直接是氧气），焦炭燃烧用的是什么？氧！整套冶炼过程，无论是加热还是调节成分还是保护气氛，全在铁、碳、氧里面解决了。这简直梦寐以求好不好。

然后应邀更一下别的金属体系。先说人类文明的第一代金属材料：铜，我们大致上与铁对应的看。

1. 铜是一个非常忠诚的面心立方结构金属，从室温到融化，坚定的站在面心立方这一面，与两面三刀的铁还有身在曹营的钒都不一样。面心立方的金属有个特点，就是非常容易变形，塑性和韧性极好，但是代价是强度不高、刚度不足。比如典型的金、银、铝都是这样的。实际上铜在常见面心立方金属中算是强度高的那一部分了，像金银这种货色都不配合铜比。所以铜非常容易进行压力加工、非常容易冲压。
2. 面心立方赋予铜的另一个特点是铜中的位错非常容易产生但是也非常容易被消除。所以铜不适合工作在高温之下。即使进行过锻造的铜，也很容易在高温下回复从而造成性能崩溃。这导致铜合金的软化温度相对比较低，我们目前常见的铜合金通常都只能长时间用在 300 度或更低。（钢铁看了斜眼，铝合金看了泪目）
3. 面心立方结构没有韧脆转变，所以不同担心它突然变脆了。
4. 目前常见的铜合金体系基本都是面心立方的，没有相变，导致热处理手段很单一。实际上我们是可以给铜添加合金元素让他具有一个马氏体相变的，这玩意也有成果，比如铜基形状记忆合金。但是问题在于…..铜合金的马氏体相变相比钢性能上差很远，而且热处理工艺很费时。但是形状记忆是个好特性，不过铜基的转变温度一般很低（远低于 0 度的那种低）
5. 铜的密度达到了 8.9，比铁高 12%，这个密度怎么说呢。说高不高，说低不低，就比较拧巴。尤其是高强度的铜合金实际上很难做到，所以他的比强度实际上太差。这点严重的限制了铜合金的用途。
6. 如果不考虑矿的话，铜的冶炼非常容易！还原铜比还原铁容易的多。
7. 所有的有色合金基本都有一个通病，就是没有明显的主要合金元素。作为对比，钢铁里主要合金元素不用看都是碳，哪怕是超低碳不锈钢里碳已经很少很少了，但你看名字就知道碳肯定有巨大的影响。而铜不行，目前铜的合金体系可以简单归类为 Cu-Al、Cu-Zn、Cu-Sn 及其变种合金。（伪合金我们就不讨论了）而这类合金都有一个问题，就是都有明显的优缺点，而缺点难以改进。
8. 青铜（Cu-Sn 合金）是人类第一种能规模化冶炼的合金，从化学角度上来说青铜的耐海水、蒸汽和碱性溶液的腐蚀性非常优秀，但是从材料学角度来说青铜的力学和冶金性能稀烂无比，强度太低、铸造性太差，动不动就 Sn 偏析，一个不小心就需要热处理几十个小时进行均匀化（这在钢铁中是不可想象的）。
9. 铝青铜（Cu-Al 合金）的性能要比青铜好，但是铝这个元素是个坑，冶炼太过困难。而且即使放弃冶炼困难的问题，铝青铜还有一个要命的缺陷“自动退火脆性”。Cu-Al 合金在 565 度左右（Al 11.8%）有一个相变，会形成一种脆性的 CuAl 金属间化合物。这个缺点并非不能解决，但是需要对成分和工艺都进行更好的控制（而且会引入对碳的敏感性）。另外说一句，高端船用螺旋桨一般就是 Cu-Al 合金系的，说明这个合金还是有他的优势的。而 Al 这个元素还有巨坑，就是熔炼的时候这家伙极易吸氧形成固体夹杂……那简直是冶金工程师的噩梦了……
10. 黄铜（Cu-Zn 合金）外观漂亮、铸造简单、性能还也凑合。但是问题在于这家伙不能做热处理强化啊……工艺呆板了好多好多，性能自由度也低了很多。

所以铜比较尴尬的是作为结构材料，他的许多许多特性都很出色，但同时都有缺点难以克服。比如强度不高……说白了几乎所有的铜合金都死于强度不高。冶金学家是真的拿铜合金的强化没什么办法，你想啊一个强度到 400-500MPa 的铜都能称自己为高强度铜，一个强度 1GPa 的钢敢说自己是高强度钢吗（高强度钢的定义一般是是屈服强度＞1180MPa）

尽管铜的力学性能不能和钢媲美，但是铜在铁器时代并不是没有竞争力的。相比铸铁铜有两个有点，或者说是铸铁的缺点：

1. 铜抗拉又抗压，而铸铁，尤其是灰铸铁不抗拉。原因是灰铸铁中出现的石墨切割了组织，导致额外的应力集中，所以灰铸铁面对拉应力的时候要打折扣；
2. 铜的断裂韧性非常好，而铸铁的韧性不大行。尤其是抗冲击性能，铸铁远远逊色于铜，这事一直到球墨铸铁被发明才得到改善，导钢铁时代才完全解决。

所以古代铸造火炮的时候（古代的工艺下，火炮只能铸造），铜炮在一定程度上是优于铁炮的。但是古代铜合金的制备也远远不能和现在相比，所以铸造的火炮炸膛是家常便饭……即使是“天才”乌尔班本人死于火炮炸膛……

再简单说一下使用量最大的有色合金——铝：

1. 铝的最大的缺点就是冶炼困难。电解铝没有大规模的电力基础想都不要想……
2. 铝合金的高温性能非常差。毕竟对一个熔点只有 600 来度的家伙，不能期望他有很好的高温性能。所以但凡温度高点，比如 300 度，就不敢用铝。（高温铝合金一般也就用 200 左右温度）
3. 铝合金的密度非常低。无与伦比的低（只有镁合金可以一战，但是……镁合金的性能……），这导致室温下铝合金的比强度其实还挺乐观。
4. 铝也是面心立方结构，但是这个面心立方和铜还有点不一样。铝合金不容易形成孪晶（层错能很高），容易形成位错。当然，这也意味着铝很多性能接近铜，在高温下一样都是菜鸡。
5. 最常用的铝合金体系是 Al-Si 合金，但是这货他严格来说是个伪合金……如果不是有变质工艺，Al-Si 合金根本就做不出来，而变质工艺依赖的 NaF、P 之类的……又得别的工业提供
6. 几乎所有的 Al-Si 之外的铝合金体系都严重偏离共晶点，说人话就是铸造性能稀烂（相比于铸铁）。（Fe-C 系共晶点 4.3%，Al-Si 是 12.6%，Al-Cu 系是 33.2%，Al-Mg 是 35%…….没法看，完全没法看）
7. 热处理工艺非常单一，其实铝合金常用的热处理基本就是时效、退火、固溶……手段单一，所以无法大幅度调节性能。

其实，铝合金和钛合金有很多相似的地方，都是在冶炼上吃亏……

当然，其实还有一个很多有色合金有的巨大问题，就是怎么连接。钢的可焊性其实相当不错（特种钢除外），但是有色合金的连接说多了都是泪啊……

当年臭鼬工厂为了搞钛合金的加工和连接，基本全部重新设计了全套的加工工艺……

实际上对比有色合金体系就会发现，有色合金中的合金元素基本都是代位原子，而铁中最重要的碳他是间隙原子，二者的扩散能力上有天壤之别。这也是像镍和钴这样的金属不能替换铁的原因

而且钢铁材料里加的合金元素真是少啊……碳他是真的给力啊……

最后从性能上总结来说，铁他是一个低配的六边形战士……样样都不是最好的，但是面板都有 80 分，加几个技能点就到 90+ 了。能输出能打野能肉盾能推塔能辅助

而其他大多数合金基本都是偏科战士……个别属性超过 100，但是某一方面太拉胯，基本就是个 50 分水平。技能点狂点也就加到及格线，打得了输出就打不了辅助……

我去年没事干干过这个, 计算字体聚类.

㬺幐(U+3B3A, U+5E50)
墫壿(U+58AB, U+58FF)
鬬鬭(U+9B2C, U+9B2D)
晚晩(U+665A, U+6669)
凉凉(U+51C9, U+F979) 我以后也要用这个词.

先随手创建一个文件夹, 然后新建一个 notebook.

选择 CJK 区 “㐀(U+3400)” 到” 龥(U+9FA5)”共 27558 个字.

有汉字有繁体字, 可能有异体字, 这个范围应该没有日语字…

字号 25 号, 字体使用混合字体 YaHei Consolas Hybrid, 对中文来说就是微软雅黑

all=StringPartition[FromCharacterCode[Range@@ToCharacterCode["㐀龥"]],1];
toImg=Rasterize@Style[#,FontSize->25,FontFamily->"YaHei Consolas Hybrid"]&;

然后用异步渲染把字都渲染出来.

并行策略选择了 Coarsest Grained, 适用于每个单元执行时间相近的情况.

虽然我也不知道并行快还是不并行快……

但是这样写就算内核突然崩溃了下次不用从头跑, 比较安全…

$now=Now
$here=DirectoryName@NotebookFileName[];
Exporter[num_]:=Block[
  {name=$here<>ToString@num<>".png"},
  If[FileExistsQ@name,Return[]];
  Export[name,toImg@FromCharacterCode[num]]
];
ParallelMap[Exporter,Range@@ToCharacterCode["㐀龥"],Method->"CoarsestGrained"];
Now - $now

然后去上课, 上完课回来肯定就好了

渲染完洗一下内存, 再全部读进来, 关了重开也行…

然后随手选个聚类算法呗, 参数靠魔法…

瞎算了几次, 发现一个比较稳的方法.

可以分批次训练, 每批 2000 个字,聚类半径设为 10.

一起跑实在太慢了, 然后考虑到制字表的时候也是相似的字放在一起的, 应该不会出现大问题…

或者可以用快速聚类, 大约 1 分钟, 进行一个初步的空白区域大小划分.

然后再细致的对划分二次聚类, 毕竟聚类这个复杂度是超线性的, 划分一下虽然要算多算一次, 但还是有加速效果的…

$now=Now
$here=DirectoryName@NotebookFileName[];
all=Association[#->Import[#]&/@FileNames["*.png",$here]];
pat=Select[FindClusters[all,
 Method->{"NeighborhoodContraction","NeighborhoodRadius"->10}],
Length@#>1&];
try1=Select[FindClusters[Association[#],
 Method->{"NeighborhoodContraction","NeighborhoodRadius"->10}],
Length@#>1&]&/@Map[#->all[#]&,pat,{2}];
DeleteDuplicates/@Map[all,Flatten[try1,1],{2}]
Now-$now

然后去上另一节课, 上完差不多就能出图了, like this!

效果不够好, 基本上都是偏旁不同, 那就三次聚类呗, 现在已经只有 1690 个字了….

try2 = Select[
  FindClusters[Association[Map[# -> all[#] &, Flatten[try1]]],
    Method -> {"NeighborhoodContraction", "NeighborhoodRadius" -> 4}],
  Length@# > 1 &]; Map[all, try2, {2}]

缺字会被垒到一起, 很迷, 还有就是异体字太多

我本来是想用机械智障造字….

构造一个 GAN, 生产者生产随机像素, 监督者来判别这个字存不存在…

然而…好像效果不咋的, 都没法通过我这个人的图灵测试, 毕竟…….

有噪点的都是新造的字啊….GG

更新：这篇文章已经被我的第 2 本书《什么是相对论（狭义篇）》（长尾科普系列丛书 -02）收录，觉得在手机上看不太方便，或者想让自己和朋友家的中小学生也看看的，不妨看看对应的纸质书籍：

1905 年，爱因斯坦正式提出了狭义相对论；1908 年，闵可夫斯基给出了狭义相对论的几何表述，也就是我们这里说的闵氏几何。爱因斯坦一开始对这套几何语言很反感，认为这些纯数学上的“花架子”没什么用，还增加了相对论的复杂度。但是，他很快就发现闵氏几何非常重要，发现这绝不是什么纯数学技巧，而是有着深刻物理内涵的洞见。而且，如果要建立广义相对论，少了它根本不行。

几何语言清晰直观，在处理许多问题时有很大的优势，这在双生子佯谬里体现得非常明显：使用代数语言，使用洛伦兹变换去处理双生子佯谬，其中难度之大思维之绕，绝对是对智商极大的考验；而使用几何语言，这个问题就简单得不像是个问题。然而，目前绝大部分介绍相对论的书籍文章还是使用的代数语言，所以你还是能经常看到许多人在一些非常简单的问题上纠缠不清，争论不休。

梁灿彬老师说他上世纪 80 年代从“言必称几何”的芝加哥大学回来以后，就一直在国内大力推广相对论的几何语言，但是不明白为啥过了三十多年大众对它还是很排斥。长尾科技就在这篇文章里跟大家好好聊一聊，希望能够解开大家跟闵氏几何之间的心结。

因为这是从零开始的一篇文章，所以我暂时就只谈相对论里最简单的几何语言，也就是狭义相对论里的闵氏几何。至于广义相对论里涉及的黎曼几何，我们后面再说。

01 为什么很多人觉得几何语言难？

了解相对论的人大多知道一点闵氏几何，知道我们可以通过画时空图的方式来解决一些很复杂的问题，但是他会觉得闵氏几何很难：把时空图画出来很难，画出来之后去解释时空图更难。当看到别人对着时空图“轻而易举”地把问题解决了，他心里没底。他无法理解为什么你说时空图里的这个代表了相对论的里的那个，为什么你对时空图里的一些点、线、面做这样的处理就对应着相对论里的那个问题。所以，他觉得你在时空图里做的那些几何操作非常“虚”，他不理解这些几何背后的实质，自然会觉得很难。

然而，这不该是几何该给我们留下的印象啊。我们平常接触的几何，一个点、一条线、一个正方形、一个圆，这些都是我们日常生活里一些形状的完美投射，它们非常的实在，一点都不虚。很多在代数上不好理解的东西，我们把它画到几何图形上一下子就理解了。几何原本就应该比代数更加简单直观，但是为什么到了相对论这里，大家反而觉得几何语言更加难以接受了呢？原因就是狭义相对论里使用的几何并不是我们熟知的欧式几何，而是一种全新的闵氏几何，当我们把欧式几何里的一些习惯和常识代入进来的时候，自然会引起各种水土不服。

所以，这里我们先不谈闵氏几何和欧式几何的具体区别，我们先来看看狭义相对论是怎么和闵氏几何对上眼了的。为什么狭义相对论不用欧式几何来描述，而非得使用一个我们不熟悉的闵氏几何呢？这个问题不清楚，讲再多闵氏几何的性质也是白搭。

02 两个基本假设

为什么狭义相对论要使用我们不熟悉的闵氏几何，原因当然还是得从自身来找。大家都知道狭义相对论有两条基本假设：相对性原理和光速不变。从这两个假设出发我们可以很自然的推导出狭义相对论里各种奇奇怪怪的结论，这里我们先来审查一下这两个假设。

相对性原理说物理定律在所有的惯性参考系里都是平等的，不存在一个特殊的惯性系。这一点很自然，伽利略很早就发现这点了，他意识到一个人在一个匀速移动（惯性系）的密闭船舱里根本无法区分这艘船到底是静止的还是以某个速度匀速运动。无法区分的意思就是这两个参考系（静止和匀速运动）是平等平权的，否则，你就应该有办法把它们区分开。

不同的是：伽利略只敢给力学定律打包票，他只敢说我们无法用力学实验区分两个惯性系，其他定律（比如电磁学实验）能不能区分惯性系他就不敢说了。爱因斯坦说你不敢打包票我来，我打赌所有的物理定律（力学的也好，电磁学或者其他的也好）都无法区分惯性系，你在船舱里做什么实验都也无法区分这艘船是静止的还是匀速运动的。

从这里我们可以感觉到，相对性原理好像并没有那么反常识，它只是把伽利略的那套相对性原理的适用范围给扩大了。那么，狭义相对论里那么多结论的“诡异”似乎就应该来自另外一个假设，也就是光速不变。

光速不变说真空中的光速在所有的惯性系里都是一样的。不论你在哪个惯性系（注意一定要是惯性系，非惯性系里光速就没人管它了）里测量光速，在静止的地面也好，飞速的火车飞船里测也好，测得的光速都是一个定值 c。

这就太反常识了，怎么能够在不同的参考系里测量同一个物体的速度都相同呢？比如，在一辆速度为 300km/h 的高铁上，有一个人以 5km/h 的速度朝车头走去。那么，高铁上的人会觉得他的速度是 5km/h，而地面的人会觉得他的速度是 300+5=305km/h，这两个速度肯定是不一样的。但是，如果我把这个人换成一束光，让这束光射向车头，光速不变就是说不管你是在高铁上测量，还是在地面上测量，这束光的速度都是 c。你以为在地面上测量的光速应该是 c+300km/h 么？对不起，并不是这样。

你觉得这个事诡异么？诡异！为什么会这样呢？不知道，光速不变是狭义相对论的一个基本假设，这个类似数学里的公理，我们只能假设它是对的，但是却无法证明它是对的，它的可靠性由实验保证。其实，这个事情很多人还是知道的，但是，大多数人并不知道如果我们再深挖一下光速不变原理的秘密，我们就能找到一条通向闵氏几何的隐秘通道。

03 光速不变的秘密

光速不变说你在任何惯性系中测量光速，得到的结果都是 c，我们来定量的分析一下这个原理。

假设我们在 K 系里测量一束光，假设这束光在Δt 的时间内走了Δl 的距离，那么显然就有Δl=Δt×c。如果我们把这束光在 x，y，z 三个坐标轴方向移动距离的分量记为Δx，Δy，Δz，那么根据勾股定理就有：Δl²=Δx²+Δy²+Δz²，再把这两个式子合起来就能得到：Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²=0。如果这时候我们用一个新的量Δs²表示左边的东西，那么就有Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²=0。

好，事情发展到这里，一切都非常容易理解，上面的事情倒腾来倒腾去就是一束光在空间里走了一段距离，然后套用了小学生都知道的距离等于速度乘以时间而已。而且，大家也会发现这个事跟光速不变也没有什么关系，你就是把上面的光换成一颗子弹，把光速 c 换成子弹的速度，那么上面的一切推理都还是那样的。没错，因为光速不变说的是光速在不同的惯性系里都一样，那么我们还得再考察一个惯性系。

还是上面那束光，我们这次在另一个参考系 K’里对它进行测量。假设我们测量的结果是它在Δt’的时间内走了Δl’，我们同样对这个距离做一个分解，假设它在 x，y，z 三个坐标轴方向移动距离的分量记为Δx’，Δy’，Δz’。根据光速不变原理，光在这个参考系里的速度还是 c，那么，按照上面的逻辑，我们依然可以得到Δs’²=Δx’²+Δy’²+Δz’²-（Δt’×c）²=0。

当我们把 K 和 K’这两个参考系了的结果拿来对比的时候，光速不变原理带来的反常效应就出现了：大家有没有发现Δs 和Δs’的表达式的形式完全一致，而且值还相等（都等于 0）？

我们只是把 K 系里测量的时间和距离全都换成了 K’系里测量的时间和距离，其它的东西我们一概没动。而在牛顿力学里，Δs和Δs’的表达式形式是不一样的，因为牛顿力学里另一个惯性系的测量速度会加上两个参考系之间的相对速度。也就是说在牛顿体系里，在K’系里测量的光速应该是 c 加上两个参考系的相对速度，这样Δs’的形式就Δs跟不完全一样了，而相对论是用光速不变强制保证了它们的形式一致。

这一点大家好好想一想，它并不难理解，但是却是后面的关键。我们现在等于说是定义了一个Δs，对于光来说，这个Δs 的值在不同的参考系里是相等的，刚好都是 0。

那么，重点来了：如果我把这个Δs 从光推广到所有物体，我仍然从两个不同的惯性系 K 和 K’去测量这个物体在空间上运动的距离Δx、Δy、Δz 和时间上经过的间隔Δt，然后一样把它们组合成Δs 和Δs’。那么，这个物体的Δs 和Δs’之间有没有什么关系呢？它们是不是还跟光的Δs 和Δs’一样相等并且都等于 0 呢？

是否等于 0 很好回答，一看就知道肯定不等于 0。假设博尔特 1 秒钟跑 10 米，那么Δt=1、Δx=10，不考虑另外两个维度（Δy=Δz=0），看看Δs²的表达式：Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²=100+0+0-（1×3×10^8）²，这显然是个非常大的负数。那么问题的关键就落在在惯性系 K 和 K’里测量的这两个值Δs 和Δs’是否相等，也就是说，如果博尔特在跑步，我们从地面和火车上测量得到的 Δs 和Δs’是否相等？

这个答案我直接告诉大家：一样！

这个证明过程其实也非常简单，这不就是同一个事件看它在不同的惯性系里是否满足某个式子么？同一个事件在不同惯性系下变换关系，在相对论里这不就是洛伦兹变换的内容么？所以，你直接用洛伦兹变换去套一下Δs 和Δs’，你很简单就能发现它们是相等的，这里我就不做具体计算了，当作课后习题。

所以，我们通过分析就得到了这样一个结论：在相对论里，不同惯性系里测量一个物体的位移、时间等信息可能不一样，但是它们组合起来的Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²确是相等的，而这个值对光来说还刚好就是 0。

注意了，这个结论极其重要，正是它决定了为什么我们要使用闵氏几何来描述狭义相对论，甚至，从某种角度来说，它几乎包含了闵氏几何里的全部奥秘。为了让大家更好地了解这个结论背后的意义，我们先去看一看欧式几何里的类似情况。

04 欧式几何不变量

在欧式几何里也有一些量是不随坐标系的变化而变化的，比如最简单的线段的长度。

在二维的欧式几何里，我们假设在一个直角坐标系里有两点 A（x1，y1）、B（x2，y2），令Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，那么，利用勾股定理就能非常容易的算出 AB 之间的距离Δl²=Δx²+Δy²。这时候我们如果在建一个新的直角坐标系，在这个新的坐标系里原来 A、B 两点的坐标变成了 A（x1’，y1’）、B（x2’，y2’），同样令Δx’=x2’-x1’，Δy’=y2’-y1’，AB 之间新的距离Δl’²=Δx’²+Δy’²。这时候我们可以很轻松的验证Δl=Δl’，也就是说Δx²+Δy²=Δx’²+Δy’²。

这个结论一点都不奇怪，我们都可以很直观的感觉到，为什么呢？因为欧式几何就是我们日常熟悉的空间啊，我们现在就假设有一跟 2 米长的尺子 AB，我在一个直角坐标系里计算它的长度的平方Δl²=Δx²+Δy²=2²=4，难不成我在另一个坐标系里算得它的长度的平方Δl’²=Δx’²+Δy’²还能不等于 4 么？我这把尺子的长度是一定的，如果我在不同坐标系下得到尺子的长度却不一样了，那还了得，那这几何就有问题了。

因此，在欧式几何里，Δl²=Δx²+Δy²也是一个坐标系不变量，这个值不随你取坐标系的变化而变化。很显然的，如果把欧式空间从二维推广到三维，那么这个不变量自然就可以写成Δl²=Δx²+Δy²+Δz²；推广到四维，我们用 t 表示第四个维度，那么Δl²=Δx²+Δy²+Δz²+Δt²，再往上推广几维，我就加几个分量就行了。

大家肯定注意到了：在欧式几何里，不随坐标系变化的是Δl²=Δx²+Δy²+Δz²+Δt²，而我们上面在讲狭义相对论的时候，不随惯性系变化的量Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²。这两者非常的相似，这个光速 c 是个常数，可以不用考虑，为了方便计算我们甚至可以直接约定 c=1，这样的话Δl²和Δs²的差别就仅仅只差一个Δt 前面的负号而已。

那么，这种形式上的相似和那个负号的差别到底意味着什么呢？毕竟它们一个代表的是不随惯性系的变化而变化的量（Δs²），一个代表的是欧式几何里不随坐标系的变化而变化的量（Δl²），一个是物理量，一个是几何量，好像并没有直接的关系。但是，我们这样想想：如果我想用一种几何来描述狭义相对论里Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²不随惯性系的变化而变化的这种性质，我们肯定就不能选欧式几何了（因为欧式几何里不随坐标系变化的量是Δl²=Δx²+Δy²+Δz²+Δt²）。所以我们需要一种新的几何，在这种新几何里，不随坐标系变换而变化的量是类似Δs²这样带有一个负号的量，这种全新的几何自然就是闵氏几何。

你这时候心里可能有点疑惑：我们真的可以只凭借不随参考系变化的量是Δs²和Δl²，就断定这是两种不同的几何么？Δs²和Δl²这些东西到底意味着什么？或者说，到底是什么决定了一种几何？

05 线元决定几何

我们从小就在学习欧式几何，我们学习直线、三角形、圆等很多几何图形，我们关心它们的各种性质，比如两点的距离、曲线的长度、两条线的夹角、一个图形的面积。但是，大家有没有想过：在欧式几何的各种各样的性质里，有没有哪个是最基本的？也就是说，我们能不能只定义这个最基本的量，其他的各种量都可以从这个量里衍生出来？这样的话，我们就只需要抓住这一个最基本量的性质，就可以抓住这种几何的性质了。

答案是：有，这个最基本的量就是弧长，准确地说是组成任意曲线、弧线的基本元段长。

要把这个说清楚，我们这里得稍微引入一丢丢微积分的思想，别慌，这个很容易理解的~在欧式几何里，我们很容易求一根线段的长度（直角坐标系里利用勾股定理就行了），但是，如果要你求一条任意曲线的长度呢？

比如上图的曲线 AB，这是随手画的很一般的一条曲线，不是什么特殊的圆弧，你要怎么求它的长度呢？数学家们是这么考虑的：我在曲线 AB 之间取一些点，比如 P1、P2、P3，然后这三个点就把这段圆弧的分成了四个部分。我们用线段把这几个点连起来，这样我们就得到了一条折线，这时候我们就用折线的长度（也就是这四条线段的和 AP1+P1P2+P2P3+P3B）来近似代替曲线 AB 的长度。当然，你肯定会说，曲线的长度明显比这四条线段加起来更长啊，你怎么能用折线的长度来代替曲线呢？

是的，如果你只在 AB 之间取三个点，那么曲线 AB 的长度肯定要比折线的长度多很多，这样近似的误差很大。但是，如果我再多取一些点呢？我在 AB 之间取十个、一百个甚至一千一万个点，那么，这成千上万条线段组成的折线的总长度跟曲线 AB 比呢？当然，还是会短一些，但是，你可以想象，这时候这些折线已经跟曲线 AB 非常接近了。如果一根 1 米长的曲线被你分成了 1 万条线段，这时候你用肉眼根本分辨不出来这是原来的曲线还是折线。但是你内心还是知道折线要短一些，那么接下来就是重点了：如果我在曲线 AB 之间放无穷多个点呢？

无穷是一个很迷人，同时也很迷惑人的词汇。从上面的分析我们知道：当我们在曲线 AB 里放越多的点，这些小线段连起来的折线就越接近曲线 AB 本身。那么，当我们放了无穷多个点的时候，这无穷多个线段组成的折线是不是就应该等于曲线 AB 的长度了？答案是肯定的，而这，就是微积分最朴素也是最核心的思想。

在这种思想的指导下，我们要求任意曲线的距离，最终还是要求小线段的距离，因为无穷多个小线段累加起来的长度就是曲线的长度。因此，我们只要知道如何求无穷小的线段的长度，我们就能用微积分的思想求出任意曲线的长度，我们把这个最基本小线段称为曲线的一个元段长，记做dl。

在欧式几何里，我们把基本元段 dl 在坐标系里分解一下，用 dx 和 dy 表示 dl 在 x 轴和 y 轴上的分量，那么根据勾股定理就有dl²=dx²+dy²，我们就把dl²称之为线元。

提炼出了线元这个概念以后，我们就可以开始反推了。在任何一种几何里，如果我们确定了线元，就等于知道了元段dl的长度，然后就可以利用上面微积分的思想求任意一段曲线的长度。那么，接下来，我们会发现几何里的其他性质都可以按照这些定义。比如，我们就可以把两点之间的距离定义为这两点之间所有可能的曲线里最短的一条，把两条直线的夹角定义为弧长和半径的比值（想象在一个圆里，半径固定，弧长越大角度越大），其他什么面积、体积之类的几何性质就都可以根据这些基本性质来定义。

最后，你会发现只要给定了一个线元，我们就能把它所有的几何性质都确定下来，也就是说：线元决定几何。

那么，什么是欧式几何呢？欧式几何就是由欧式线元（dl²=dx²+dy²）决定的几何。非欧几何呢？只要你的线元不是欧式线元，那么这个线元决定的几何就是非欧几何。用这种新线元，我们一样可以定义出在这种新几何里的曲线长度、两点的距离、线的夹角等等几何性质。

那么，闵氏几何是什么？闵氏几何的线元又是什么呢？

答：很显然，闵氏几何就是由闵氏线元决定的几何。闵氏线元是这样的ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²，如果只考虑二维闵氏几何的话，那么ds²=-dt²+dx²。

闵氏线元（ds²=-dt²+dx²）跟欧式线元（dl²=dx²+dy²）十分相像，它们之间唯一的差别就在于闵氏线元的第一个分量 dt²的前面是负号，而欧式线元全部都是正号。也因为如此，闵氏几何跟欧式几何也非常像，所以闵氏几何还有一个称呼，叫伪欧几何。但是，我们也要特别注意这个负号，正是这个负号，决定了闵氏几何和我们熟悉的欧式几何里所有不一样的地方，而这些不一样，恰恰是我们通过闵氏几何来理解狭义相对论的关键。

06 闵氏几何与狭义相对论

我们现在知道了，所谓的闵氏几何，不过是由闵氏线元ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²决定的几何。在这种几何里面，曲线的长度、两点的距离、线的夹角等一切性质都有这个第一项带了一个负号的闵氏线元决定。

看看这个闵氏线元ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²，再看看我们最开始提到的那个在狭义相对论里不随惯性系的变化而变化的量Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-（Δt×c）²，是不是非常像？在相对论里有两种单位制：国际单位制和几何单位制。国际单位制就是我们平常熟悉的那一套单位制，几何单位制就是选择光速 c=1，这样可以大大简化在用几何处理相对论问题的难度。采用几何单位制的话，不随惯性系变化的Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-Δt²，这就真的跟闵氏线元ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²一模一样了。

这就是为什么我们要用闵氏几何，而不是欧式几何来描述狭义相对论的根本原因。

在牛顿的世界里，时间是绝对的，三维的空间也是绝对的，一根木棒在三维空间里随便怎么变换，随便怎么变换参考系，它在三维空间里的长度是一定的，这个是跟三维的欧式线元对应的（因为三维的欧式线元 dt²+dx²+dy²也不随坐标系的变化而变化）。

但是，在狭义相对论里，空间不再是绝对的，不再是一成不变的，我们熟悉的尺缩效应不就是说从不同的惯性系里观测同一把尺子，这个尺子的长度是不一样的么？这就是说空间上的“长度”在狭义相对论的不同惯性系里不再是不变量。但是，我们发现如果把时间也考虑进来，把三维空间和一维时间一起组合成四维时空，那么这个四维时空里的间隔Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-Δt²就是不随惯性系的变化而变化的量（这个在前面说过，用洛伦兹变换可以非常方便的证明）。

所以，在牛顿的世界里，三维空间是绝对的，他必须保证同一把尺子在不同的三维空间的坐标系里长度是一样的，也就是说在度量三维空间里长度的方式（这个有个更专业的概念叫度规，这里我们知道就行）必须跟坐标系无关，而欧式几何正好有这样的特性，所以牛顿力学的背景是欧式几何。

而在狭义相对论里，三维空间并不是绝对的，三维空间里一把尺子的长度在不同惯性系里是不一样的。但是，三维空间和一维时间组成的四维时空是绝对的。四维时空里如果也有这样一把“尺子”，那么这把“尺子”无论从哪个惯性系来看，它的四维“长度”都是一样的。而狭义相对论的这种四维“长度”，或者说我们在四维时空里度量长度的方式，它跟闵氏线元表达式的形式是一样的。也就是说只有在闵氏几何里，狭义相对论的时空间隔才对应于他们几何里的“长度”的概念，所以我们要使用闵氏几何来描述狭义相对论。

理解这一段非常的重要，因为只有理解了这个，你才能从根本上把闵氏几何和狭义相对论对应起来。有很多闵氏几何的科普文章里上来就是直接给你画时空图，然后告诉你闵氏几何里的这种图形这个几何性质对应着狭义相对论里的这种概念，这样很多人就感觉难以接受，然后对几何语言产生抵触的心理。

好，既然我们打算用闵氏几何来描述狭义相对论，那么肯定就要把狭义相对论里的物理语言翻译成闵氏几何里的几何语言。几何肯定是离不开画图的，在欧式几何里我们经常会画出一个几何图形在空间上的样子，这是空间图。而狭义相对论把时间和空间看作一个整体， 它要求我们以同等的地位来看待时间和空间，所以我们需要画出一个事件同时在时间和空间里的样子，这种图就叫时空图。

07 时空图

在时空图里，你能非常自然地感觉到时间和空间被统一起来了，因为时空图里的时间轴和空间轴有着完全的平等的地位。

在时空图里，一个粒子现在在哪，你找到它的空间坐标（x，y，z），记下现在的时间 t，那么你就得到了它的时空信息（x，y，z，t），那这个时空信息就对应时空图里的一个点，这就叫时空点。

同样的，你再记下它下一个时刻 t1 的位置（x1，y1，z1），那么它又对应了坐标系的另一个点（x1，y1，z1，t1）。所以，一个粒子在任一时刻的时间、空间信息就都对应了时空图里的一个点。那么，如果考察这个粒子的全部历史，你就可以得到一系列的这种时空点，这些点在时空图里就会形成一条线，这条能代表粒子全部历史的线就叫粒子的世界线。

现实生活里一个粒子有四个维度（三维空间 + 一维时间），那么对应的坐标轴应该也是四维的，但是我们在二维平面里勉强可以画出三维图形，对四维图形实在无能为力。为了方便起见，我们假设粒子只沿 x 轴方向运动，这样我们就可以不考虑 y 轴和 z 轴的情况，从而把四维的问题简化为二维，然后我们就可以很愉快的在一张二维的纸上画这二维时空图了。

我们先建立一个坐标系，横轴 x 代表粒子的空间信息，纵轴 t 代表粒子的时间信息。为了再次简化问题，我们采用几何单位制，也就是取光速c=1，然后我们再来看一些具体问题。

问题 1：一个静止不动的粒子在时空图里是什么样的？或者说它的世界线是什么样的？

这个答案很容易想到，一个粒子静止不动，就是在空间上没动，那么它的 x 坐标一直为零，但是时间依然在流逝，也就是粒子的时间坐标在一直变大。所以，静止不动的粒子是世界线是一条跟 t 轴重合，垂直于 x 轴的直线。

问题 2：一个匀速向右运动的粒子的世界线是什么样的？

这个也不难想象，一个匀速向右运动的粒子，它在时间轴不停往上走的同时，空间轴上也在不停地往右走，那么这个粒子的世界线应该是一条斜直线。问题是，斜多少？是所有的坐标空间它都可以斜，还是有什么限制？这个问题我们先放着，先看看第三个问题。

问题 3：一条朝右上方 45°的斜直线（如下图的 L1）代表了什么粒子的世界线？

我们先来算一算这个粒子的速度：我们在粒子的世界线 L1 上取两个点，也就是假设粒子在 t1 时刻在位置 x1，在 t2 时刻在位置 x2。因为这条直线是 45°的，所以很显然 x2-x1=t2-t1，.那么粒子的速度v=(x2-x1)/(t2-t1)=1。

速度等于 1 是什么意思？我们在画图的时候采用的是几何单位制，也就是取光速 c=1(如果我们不采用几何单位制，那么竖轴的单位就不是 t，而是 ct，本质并没有什么不同)。现在这个粒子的速度等于 1，其实就是代表这个粒子的速度是光速，速度是光速那自然就是光子了，那么这条 45°斜直线就代表了光子的世界线。

从这里我们可以看到，在时空图里，光子的世界线是 45°的斜直线。我们也知道在相对论里任何有质量粒子的速度都是小于光速的，那么一个有质量的粒子做匀速直线运动的世界线该是一条什么样的斜直线呢？是在区域 1还是区域 2？

我们可以这样想一下：如果粒子的速度比光速小，那么假设粒子在 t1 时刻在 x1 处，那么到了 t2 时刻它肯定到不了 x2 地方，那么这两点的连线肯定就在 L1 的上方，也就是区域 1。其实我们也可以想一个极端的粒子，假设这个粒子在原点不动，那么粒子的世界线就是跟 t 轴重合，粒子速度到达光速就是 45°的那条直线，那么速度在静止和光速之间的粒子世界线自然就是在区域 1 的斜直线了。

现在我们知道了这样一个结论：在时空图里，45°的斜直线代表了光子的世界线（如 L1），比光子世界线更陡，更加靠近 t 轴的斜直线（如 L2）是有质量粒子匀速直线运动，或者说惯性运动（速度小于光速）的世界线。

有了这样的基本认识，我们来用几何语言分析一下狭义相对论里入门教材里必定会碰到的问题：火车闪光问题。这个问题之所以重要，是因为它揭示了同时的相对性，也就是说在一个惯性系看来是同时发生的事件，在另一个参考系里不一定是同时发生的。爱因斯坦敏锐地发现了这点，然后借此从看似牢不可破的牛顿力学里撕开了一道口子。

08 同时的相对性

在牛顿力学里，时间是绝对的，所以同时必然也是一个绝对的词汇。在一个参考系看来是同时发生的事件，不管谁来看都绝对是同时发生的，这也是一个非常符合常识的论述。

但是，爱因斯坦用一个简单的火车实验就让人们的这个信念坍塌了，这个实验是这样的：假设地面上有一辆匀速运动的火车，在某一个时刻，地面上的观察者发现这个火车的车头和车尾同时被闪电击中。也就是说，对于地面参考系而言，闪电击中车头和车尾这两个事件是同时发生的。但是，爱因斯坦认为在火车参考系里，这两个事件就不是同时发生的。

原因也很简单，我们假设在闪电击中火车头尾的时候，在地面这两点的中点有一个观察者。因为两个事件在地面系看起来是同时发生的，所以，站在地面中间的那个观察者肯定会同时看到车头和车尾发过来的闪光，所以这两个事件是同时的。

但是，站在火车中间的观察者就不是这样了，因为车头车尾的闪光在向中间传播的时候，火车本身也在前进，所以火车中间的人就会先看到车头发过来的闪光，后看到车尾发过来的闪光。所以，火车上的观察者就会觉得这闪电击中车头和车尾这两个事件不是同时发生的，而是击中车头的先，击中车尾的后。

爱因斯坦从这个火车闪光实验出发，发现了同时的相对性，进而打开了狭义相对论的大门。这个实验比较简单，整个逻辑过程也不复杂，但是这样讲不够直观，不够具有普遍性。因为很多人会把这个实验当做一个特例来处理，也就是只有当他们意识到要讲同时的相对性的时候才会想起这个实验，平常就会把这个实验带来的同时的相对性给忘了，然后带来一系列的“相对论诡异疑难”。下面我们从几何语言来看看这个问题，看看如何让这个重要问题更直观，更具有普遍性。

我们假设闪电同时击中车头车尾（从地面系观测）的时候，火车的车尾 M’、车头 N’刚好经过地面的 M 和 N 点，P 点为地面 MN 的中点，P’为火车上的中点，我们来看看怎么在时空图上描述这个闪电击中火车的问题。

我们先来看看地面上 M 和 N 点的世界线，因为 M、N 在地面上没有动，所以 M 和 N 点的世界线都是一条沿着时间轴 t 竖直向上的直线（空间位置没动，只有时间 t 在动）。同样的，在 MN 中间的 P 点也没动，它的世界线也是一条竖直向上的直线。这三条线好画，那么在火车上的 M’、N’和 P’，它们都在做匀速直线运动，那它们的世界线是什么样的呢？这个我们上一节刚好说了，做匀速运动的粒子的世界线是一条比 45°线更陡的斜直线。那我们把这六个点的世界线都画出来，不难理解应该就是下面这样（横轴为空间 x，纵轴为时间 t，这里省略了）。

下面是关键的了，怎么画车头、车尾的闪光向中点传播的过程？我们知道，闪电击中车头车尾之后，这个事件就会向四面八方发射光信号（所以四面八方的人都能看到火车被闪电击中了），但是，其他的信号我们都不关心，我们只关心被地面中点 P 和火车中点 P’所接收到的那一束光信号。那么，这个光信号要怎么画呢？它们的出发点肯定在 m 和 n，那接下来呢？这次我们再次想起了上一节中提到的：光子的世界线是 45°的斜直线。那么我们就加上这两条 45°的世界线，最后的图就是下面这样的。

这两根世界线跟两个中点 P、P’的世界线产生了三个交点 A、B、C，这是三个很有意思的点，我们来分析一下它们的物理含义。

首先是 A 点，A 点是闪光世界线跟地面中点 P 点的世界线交点，它们相交了是什么意思？纵轴代表时间，横轴代表空间，相交了就代表这两个粒子此时时间和空间信息都一样，都一样那就是相遇了啊，具体到我们这个问题就是闪光传播到了地面上的中点。因为地面没有动，M 和 N 点到 P 点的距离又是一样的，那么车头车尾的闪光肯定同时到达地面中点，所以它们都相交于 A 点是正确的。

再来看 B 点和 C 点。B 点是车尾的闪光的世界线和火车里面的中点 P’世界线的交点，那B 点代表的意思自然就是火车中间的观察者观察到车尾的闪光这个事件。同理，C 点是车头闪光世界线跟 P’世界线的交点，那C 点就是火车中间的观察者观察到车头闪光的这个事件。这样看就非常明显了，纵坐标是时间轴，那么 B 事件明显就是在 C 事件之后发生的啊。

这正是同时的相对性的表现：对于地面系，它们都交于 A 点，所以是同时的；对于火车系，它们分别交于 B 点 C 点，所以是不同时的，这在时空图里极为直观。

这里有一个事要强调一下：我们在这个火车闪光问题里虽然涉及到了地面系和火车系，但是我们是一直在地面系来分析问题的。我们画的时空图，不管是地面上的点还是火车上的点，我们都是在地面系画，因为毕竟一张图只有一个坐标系嘛。那么，我们能不能在一张图里同时把地面系和火车系两个惯性系都画上呢？

答案当然是可以的。

09 两个坐标系

我们来具体看看这个问题：假设我们现在已经画了一个地面系的直角坐标系 x-t，那么我们要如何把火车系的坐标系 x’-t’画出来？

第一次遇到这个问题的同学可能有点懵，不着急我们一步步来，我们先看看火车系的纵轴 t’要怎么画。要画火车系的纵轴，我们先想想一个坐标系的纵轴的是什么意思？我们知道如果我们让一个点的横坐标为零，那么这个点的轨迹就是跟纵轴重合的。还记得我们上面说的静止粒子的世界线么？静止粒子的空间坐标 x 为 0，所以它的世界线就是垂直于 x 轴，与 t 轴重合的一条直线。那么，火车系的 t’轴自然也是在火车系里静止在原点处粒子的世界线。

这一点很重要，大家好好理解一下，也就是说我们只要把火车系处于原点处粒子的世界线画出来，我们就能得到火车系的 t’轴。那么，一个在火车系静止的点，在地面系看来它是在做匀速直线运动，而匀速直线运动的点的世界线，我们上面也说了，就是一条比 45°更陡的斜直线。所以，火车系的 t’轴就是这样一条更陡的斜直线，如下图所示：

火车系的 t’轴画好了，那火车系的 x’轴呢？大家可以看到我在图上用虚线画了一根与 t’垂直的轴，并且特意标明了“错误的 x’轴”。为什么要这样标呢？因为这是相对论初学者极容易犯的错误。我们已经习惯了欧式几何，欧式几何里直角坐标系都是相互垂直的，所以到了这里很多人看到我们已经画出了 t’轴，就立马条件反射地画一根和 t’轴垂直的当做 x’轴，但是这是错误的，为什么呢？

这里我们第一次感受到了闵氏几何的异样。我在最开始花了那么大的篇幅告诉大家为什么狭义相对论要使用闵氏几何，我们也知道了闵氏几何的线元跟欧式几何不一样（时间项前面多了一个负号），所以，我们在画时空图处理狭义相对论问题的时候，一定要意识到自己虽然是在欧式平面里画图，但是我们画的是闵氏几何里的图形。

有人可能会有点疑问，我们前面不是已经用时空图解决了同时的相对性问题么？我们不是已经把爱因斯坦火车闪光问题用时空图画出来了么，我没感觉啥异样啊？那只是因为那个问题比较简单：它只有一个坐标系，而且也不涉及到线长相关的问题，所以我即便在一个欧式直角坐标系里把它画出来了，它也暂时没什么冲突。如果我们生活在一个闵氏空间里，那么我们画出的闵氏直角坐标系肯定都是相互垂直的，但是我们生活在欧式空间里，我已经用一个欧式空间里的直角坐标系画了一个闵氏坐标系，那么另一个就肯定不可能再是垂直的了。

这里的逻辑有点绕，大家可以细细品味，搞得不是很懂也不要紧，我接下来会把另一个坐标系画出来，大家能看懂再回去看上面的一段话就明白了。

好，回到正题，我们再来看看火车系正确的 x’轴该怎么画。我们再来整体回顾一下这个事情：我们现在是已经画好了地面系 x-t，要画火车系 x’-t’，火车系和地面系它有没有什么关系呢？有啊，洛伦兹变换说的不就是地面系和火车系的关系么？什么是洛伦兹变换？比如我在地面系观测到了一个粒子的位置和速度，现在我想知道它在火车系里是什么情况，我并不需要重新再到火车系里测量一遍这个粒子的位置和速度，我只需要根据洛伦兹变换就可以直接得到火车系里那个粒子的运动情况。所以，洛伦兹变换就是两个惯性系之间的联系，我只要知道了一个惯性系里粒子的运动情况，立马我就可以知道其他惯性系里粒子运动的情况。

所以，我们可以根据洛伦兹变换来找到两个惯性系之间的联系。我现在不是根据地面系的坐标轴来找火车系的坐标轴么？我们对着洛伦兹变换改就是了。洛伦兹变换是下面这样的：

其中，x，y，z，t 代表地面系里观测到的，x’，y’，z’，t’是火车系里观测到的。v 是火车系相对地面系的速度，火车的速度一旦给定了，这个 v 就是一个定值，c 是光速，所以右边的γ都是一个常数。如果我们再根据几何单位制来，取c=1，那么洛伦兹变换就可以简化成下面的样子：

因为我们只考虑火车系相对地面系在 x 轴方向上的运动，所以在 y 和 z 方向上还跟原来一样，我们可以不考虑。我们现在画图也是来画 x-t 图，所以我们重点关注这两个式子：

这是什么呢？这不就是火车系了的 x’和 t’么？我现在要画的就是 x’的坐标轴，也就是火车系的空间坐标轴，那怎么找到这个坐标轴呢？这个我们前面也提过：纵坐标的那条线就是横坐标为 0 的所有点的集合，反过来也是，横坐标就是纵坐标为 0 的点的集合。所以，我们令火车系的时间等于 0，也就是纵坐标 t’=0 就能找到横坐标 x’轴了。

那我们令t’=γ（t-vx）=0，因为γ是一个不为零的常数，所以就只有 t-vx=0 了，也就是t=vx。

这在 x-t 坐标系里就是一条过原点的直线，斜率为火车的速度 v（斜率就是这条直线的倾斜程度，你可以理解为一个坡越陡斜率越大。当直线与横轴重合的时候，斜率为 0；当直线跟横轴成 45°的时候，斜率为 1；当直线跟纵轴重合的时候，斜率为无穷大）。因为我们这里是几何单位制，光速为 1，在狭义相对论里任何有质量的物体它的运动速度都是小于光速的，所以火车的速度 v 肯定是小于 1 的，也就是说这条直线的斜率比 45°的直线（刚好是光的世界线）小。

再者，我们可以用同样的方法令x’=γ(x-vt)=0，就能得到火车系的纵轴是这样一条直线：t=x/v。它的斜率是 1/v，因为 v 小于 1，所以 1/v 是个大于 1 的数，所以这条斜直线的斜率比 45°要大（我们前面画的也正是这样）。这里我给一个初中数学的结论：斜率互为倒数（比如 v 和 1/v）的两条直线它们是关于 y=x，也就是 45°的直线对称的。所以，我们的 x’轴是跟 t’轴关于 45°的直线对称的。这样我们就能精确地把它画出来了，如下图：

第一次看到这样一个坐标系的同学可能会感觉非常别扭，为什么火车系 x’-t’的坐标系不是正交的，不是一个直角呢？我们得这样看：它们是正交的，只不过它们是在闵氏几何里正交，我们现在强行把它画在欧式几何里，那么肯定就看起来不正交了。

还有同学也会有疑惑，你不是说狭义相对论里惯性系都是平权的么？那么为什么这里把地面系画成直角的，而把火车系画成了一个小于直角的坐标系？我要是人就在火车里，我非要把火车系画成直角的，不行么？行，当然行。你可以按照上面的思路把火车系画成直角的基准系，再反推过去画地面系，最终的两个图虽然形状不一样，但是实质上还是等价的。

理解这个双坐标系非常关键，它第一次向我们展示了闵氏几何不一样的地方。有了它，我们就可以很方便的处理不同惯性系里的一些事情，比如，我们喜闻乐见的尺缩效应。

10 尺缩效应

尺缩效应是狭义相对论里比较有趣的一个效应，它简单说来就是一句话：运动的物体长度会收缩，也就是动尺收缩。但是这样描述会让许多初学者心生疑惑，你动尺收缩是真的收缩了还是只是看起来收缩了？这是一种观测效应还是一种由于光速有限造成的传播误差？你相对尺子没动，觉得尺子没缩，我觉得缩了，那么它到底缩了没有（这是个很常见的错误的问题）？

其实，用非几何语言初学相对论的人不可避免地会遇到很多类似这样的问题。因为大家在牛顿的那一套环境里浸润久了，想一下子把思维切换过来很麻烦。而且学相对论的人最容易载到“相对”两个字里来，该相对的东西不相对，不该相对的东西又跑去相对，最后把自己绕进去了。但是用几何语言却没有这样的烦恼，因为有很多物理量在 3 维的时候是相对的，在 4 维里就都是绝对的了。而且，几何图形清晰直白，会大大降低这类问题的难度和迷惑性。

好，现在我们来看看怎么用几何语言处理尺缩效应。

一个粒子的世界线是一条线，而一把尺子是由许多粒子组成的，所以一把尺子在时空图里留下的轨迹就应该是一个面，我们称之为尺子的世界面。我们还是以地面系为基准系，假设尺子相对地面系静止，那么尺子每个粒子的世界线都是一条平行于 t 轴的线，合起来它的世界面应该是一个有一定宽度的面。上一节我们已经学会了如何把运动的惯性系也画出来，我们再把相对尺子运动的参考系 x’-t’（假设为火车系）画出来，总的时空图就是这样：

如上图所示，阴影部分就是在地面系静止的尺子的世界面，它跟 x 轴的交点为 a，跟 x’轴的交点为 b。那么我们很容易就能知道oa 就是尺子在静止地面系的长度，ob 就是尺子在运动的火车系 x’-t’的长度。

为什么呢？你想想 oa 代表什么意思？oa 就是当地面系的时间为零的时候尺子在空间 x 轴的投影，那这显然就是尺子的长度了。那么，同样的道理，因为运动的火车系的坐标是 x’-t’，ob 也是当 t’都为 0 的时候尺子在 x’轴的投影，所以 ob 就是运动的火车系测得的尺子长度。

所以，尺缩效应就变成了比较 oa 和 ob 的长度。很显然，oa 和 ob 的长度肯定不一样，那么到底是 oa 长还是 ob 长呢？

没错，你的眼睛没有看错，我就是在问到底是 oa 长还是 ob 长？可能这个时候你的脑袋是懵的，明明 oab 组成了一个直角三角形，ob 是斜边，斜边肯定比直角边更长啊，这是初中生都知道的，ob 比 oa 长难道还有什么疑问么？

没错，搁在欧式几何里，斜边大于直角边这绝对毫无疑问。但是，我们始终要记住我们处理狭义相对论问题用的是闵氏几何（否则也不会出现 x’-t’这样看起来不正交的坐标系），那闵氏几何里要怎么样比较两条线段的长短呢？

这个时候你可能意识到了：我们在闵氏几何里连怎么定义线段的长度都不知道，更别提比较两条线段的长短了。那么，闵氏几何里一条线段的长度是怎么定义，怎么计算的呢？

11 闵氏几何的线长

在讨论怎么定义，计算闵氏几何一条线段的线长之前，许多人可能对为什么这个问题会是一个问题都心存疑惑：线段的长度不就是用尺子去量一下线段么，为什么还需要什么定义？即便我不用尺子去量，一条线段我在直角坐标系里把它投影到 x 和 y 轴，假设它在 x 轴和 y 轴的投影长度分别是Δx 和Δy，那么我就可以利用勾股定理很简单的算出这条线段的长度 L²=Δx²+Δy²。

但是，我还是得再强调一次：你能这样做，是因为你已经假设了你是在欧式几何里。只有在欧式几何里，一条线段的长度才可以这样用勾股定理去计算，但是狭义相对论的几何背景是闵氏几何。为了让大家能更直观的了解，我们先不谈闵氏几何，我们就来看看球面几何。

球面几何顾名思义就是在在一个球面上的几何。你可以想象在一个篮球的表面，或者地球的表面上有两个点，那么，这两个点之间的距离应该是一段圆弧长，而不再是欧式几何里的直线。你想想，在这种情况下，你还能用勾股定理去计算这两点之间的距离么？你要硬用勾股定理去计算，那么算出来的是这两点之间的直线距离，并非在球面上的圆弧长，这显然是不对的。就好比你在地球表面计算北京到深圳的距离，你用勾股定理算出来的距离是在北京地底下打一个直线隧道通到深圳的距离，这显然不是你在地球表面从北京直线开车去深圳的距离。

从这里我们能直观地感觉到：在不同的几何里，长度的计算方式是不一样，每一种几何都有自己度量长度的规则（这就是度规），一旦这种规则确定了，这种几何也就确定了。其实，这一点我在「线元决定几何」这一节里已经说得非常明确了，不光是线长，所有的几何性质都是由线元决定的，不同的几何拥有不同的线元，自然就拥有不同的计算线长的方式。

二维欧式几何的线元是dl²=dx²+dy²，二维闵氏几何的线元是 ds²=-dt²+dx²。二维欧式几何里线段长度的计算公式是这样的：

那么，二维闵氏几何里线段长度的计算公式自然就是这样的：

因为闵氏几何的线元的时间项前面有个负号，所以，为了避免根号里面的值出现负数从而让式子无意义，我们套了一个绝对值（它保证所有值都是非负的，比如 -5 的绝对值为 5，记做|-5|=5）的符号。

也就是说，我们在闵氏几何里是根据这个式子来计算一条线段的长度的，Δt 和Δx 分别代表这条线在 t 轴和 x 轴的投影。这个式子跟欧式几何的距离计算公式很类似，唯一的不同还是时间项前面的那个负号。也正因为这个负号，闵氏几何里的线长问题才会变得更我们平常想的不一样。为了让大家熟悉一下这种新的线长计算方式，我先来举个简单的例子。

问题 4：大家还记得光子的世界线是一条 45°的斜直线把，我们现在随便在光子的世界线里取 A、B 两点，那么线段 OA、OB 的长度分别是多少呢？如下图所示：

我们先来看看 OA 的长度，因为这条直线是 45°，所以 A 点在 x 轴和 t 轴上投影得到的距离就是一样长的，也就是Δt 和Δx 的大小是一样的。但是，闵氏几何里线段长度的计算公式是它们两个相减再开根号，现在这两个值是相等的，那么相减的结果不就是 0 了么？再开根号结果自然还是 0。

也就是说，OA 在闵氏几何里的长度为 0。

你没有看错，它的长度就是 0。OA 你看着有这么长的一段，但是它在闵氏几何里的长度却是 0，这就是那个负号带来的效果。同样的，你可以接着去算 OB 的长度，或者直接算 AB 的长度，你会发现它的长度一样全部都是 0。

所以，我们有这样的结论：光子的世界线长度恒为 0。这很反直觉吧？我们再来看个例子。

问题 5：还是上面的图，我过 B 点做一条垂直于 t 轴的线，然后随便在 BC 之间取一条点 D。那么 OC 就是静止不动的粒子的世界线，OD 就是一条匀速直线运动的粒子的世界线，OB 是光子的世界线，那么它们三个的长短怎么比呢？

乍一看，好像的OB>OD>OC。但是我们刚刚算过了光子世界线 OB 的长度为 0；OC 是静止不动的粒子的世界线，那么它在空间上的位移Δx 就为 0，那么 OC 的长度就是粒子在时间轴里走的长度；OD 在时间轴上的投影跟 OC 一样，但是它的Δx 不等于 0，那么它们相减（-Δt²+Δx²）之后的数值肯定就变小了，那么 OD 是小于 OC 的。于是，我们得到的结论确实跟之前的感觉截然相反的，三者的长度是OC>OD>OB=0。

所以，当我们在说时空图了某一条曲线的长度的时候，我们都要意识到我们是用闵氏几何那把尺子（时间项前面有负号）来度量曲线的长度，这跟我们平常生活里感受的（欧式几何度量长度）是不一样的。一开始大家会觉得这种方式非常不习惯，但是一旦习惯了就会觉得这个非常自然。

好了，这里我们介绍了闵氏几何里线长的定义和计算方法，理论上我们就可以计算任意一条线段的长度了，也能比较两条线谁长谁短了。我们上一节不就是最后把尺缩效应归结比较两条线段 oa 和 ob 的线长么？那现在可以直接比了啊。

我们看到 ob 在 x 轴的投影跟 oa 是一样长的，但是 oa 在 t 轴的投影为 0，ob 在 t 轴的投影却大于零。但是，根据闵氏几何的线长公式，线长是这个线段在时间轴 t 和空间轴 x 投影长度平方相减再开根号。既然两条线段 oa 和 ob 在空间轴 x 上的投影都一样，那么在时间轴 t 上投影长度越大的，相减之后得到的值就越小，那么最后的线长就越小。

所以，我们能直接就这样感觉到，在闵氏几何下，ob 是比 oa 更短的。而ob 代表的是运动参考系下尺子的长度，oa 是静止参考系下尺子的长度，既然 ob 比 oa 更短，那么就是说在运动参考系里尺子的长度更短，这就是我们常说的尺缩效应。

这里我们是直接用线长的计算公式算出 oa 和 ob 的长度然后再来做比较，虽然算出来了，但是可能不是很直观。在许多教材和文章里都会提到另外一种看起来更直观的比较方式，那就是使用校准曲线，很多人也经常看到这个但是不是很明白，我这里就一起再讲一下。

12 校准曲线

校准曲线其实是回答了这样一个问题：闵氏几何里，到原点距离相等的点组成的轨迹是什么？

老规矩，我们先看看欧式几何的情况。在欧式几何里，到原点距离相等（比如说都等于 2）的点组成的轨迹是什么呢？这个我们都知道，这就是一个圆，到定点的距离等于定长的点的集合就是圆，这个点就是圆心，这个定长就是半径。

在欧式几何里，如果一个点（x，y）到原点的距离为 2，那么，根据勾股定理我们就可以很容易写出下面的关系：x²+y²=4。而学过一点解析几何的人就都知道，这就是圆的坐标方程。

那么，再回到闵氏几何，在闵氏几何里到原点的距离为 2 的点组成的轨迹是什么呢？其实也简单，我们不是已经有闵氏几何的距离公式了么？代入进去就行了，因为是求到原点的距离，所以Δx 和Δt 就分别是点的坐标 x 和 t，如下图：

我们把两边平方展开就得到了：

大家对比一下，这个x²-t²=4跟我们在欧式几何里圆的方程只有一个符号的差别（因为坐标轴不同，作为纵轴 t 和 y 是完全等价的）。这个式子，学过高中数学的同学一眼就能看出来这是一条双曲线，没学过或者忘了的可以自己去找一些具体的点描上去（自己找一些 x 的值，然后去算 t 的值，最后把（x，t）组成的点画到坐标系上去，看看轨迹是什么）。我这里用GeoGebra（这是一个免费的在线数学绘图工具，你输入函数或者方程，它就会自动把对应的图像画出来，有兴趣大家自己也可以去画一画）给大家画了一个图，大家可以看看，双曲线大致就是这么一个形状：

我们先甭管双曲线在欧式几何里的各种几何意义，我们是怎么得到这个图的？我们是在闵氏几何里找距离原点距离相等（这里等于 2）的点的集合，也就是说，你别看这个曲线是弯弯曲曲的，但是在闵氏几何里，这个曲线里所有的点到原点的距离都是相等的，都等于 2。

因为这种曲线上所有点到原点的距离都相等（闵氏几何下），所以我们就可以用这种曲线当作一个标准来校准，这就是把它叫校准曲线的原因。还是那个尺缩效应的图，这次我们用校准曲线来看一下。

大家看到，我加了一条过 a 点的校准曲线，我们假设它跟 x’轴交于 c 点。这样就非常清楚了，什么是校准曲线？校准曲线就是闵氏几何里到原点的距离都相等的点，因为 a 和 c 都在曲线上，所以，在闵氏几何里 oa 和 oc 的长度是相等的，也就是oa=oc。而 b、c 两点都在 x’轴上，很显然的ob<oc，合起来就是ob<oc=oa，那我们就很自然地得到了 ob 的长度比 oa 更短的结论。

而 oa 就是在静止的地面系观测得尺子的长度，ob 是在相对尺子运动的火车系上观测到尺子的长度。我们得到的结论是 ob<oa，这不就是说在运动的参考系里观测到的尺子的长度更短么？完美符合尺缩效应的结论。

在狭义相对论里经常跟尺缩效应一起出现的还有一个钟慢效应，它说相对钟运动的参考系观测钟会觉得它走地更慢一些，也就是动钟变慢（这个不同于广义相对论里引力钟慢效应说的引力越大，时间越慢）。但是钟慢效应和尺缩效应在时空图的处理上是类似的，所以我这里就不说了，大家可以自己去画一下，想知道答案的可以参考梁灿彬老师《从零学相对论》的 4.2 节（没有资料的可以回复“梁灿彬”或“梁老师”，获取《从零学相对论》+《微分几何入门与广义相对论》以及梁老师配套的的教学视频）。

接下来，我们来看一个狭义相对论里让无数新人头痛不已，也让无数科普者无比心烦的一个问题。这个问题用几何语言处理极为简单，但是读者不认，他们不太了解闵氏几何，更无法理解几何图形里代表的物理实质，你凭什么用这个这个就代表了那个那个？但是，这个问题如果用传统的代数语言讲就极为复杂，而且逻辑非常绕，一不小心就在各种相对里面把自己都绕进去了，分析它简直是对智商极大的挑战。没错，这就是大名鼎鼎的“双生子佯谬”问题。

13 双生子佯谬

双生子佯谬的描述倒是非常简单：假设地球上有一对双胞胎，有一天哥哥驾着宇宙飞船去太空里里飞了一大圈再返回地球。那么按照狭义相对论，我们就会发现哥哥再次回到地球的时候他会比弟弟更年轻。比如说，哥哥从地球出发的时候，这对双胞胎都是 20 岁，现在哥哥在太空飞了一圈再回来之后，有可能弟弟已经 30 岁了，哥哥才 25 岁。当然，这个具体的数字依赖于特定的飞行情况，但是哥哥肯定会比弟弟年轻这是一定的。

这个问题的争议点在哪呢？它争议就争议在：狭义相对论里有钟慢效应，也就是说运动的物体他的时间会变慢。那么似乎可以说哥哥离开地球在太空里运动了一圈，所以哥哥是运动的，那么哥哥的时间会变慢，回到地球更年轻好像说得通。但是，运动不是相对的么？你站在地球上觉得是哥哥在动，那么我站在飞船的角度来看，我也可以觉得是弟弟（包括整个地球）在远离我然后靠近我，那么运动的那个人就是弟弟，因此弟弟的时间更慢，兄弟见面的时候应该弟弟更年轻。这样不就前后矛盾了么？

双生子问题是一个佯谬，佯谬就是说它看起来是错的，是矛盾的，其实是正确的。也就是说，如果我们真的有这样一对双胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的会更年轻。但是，这样的话，我们要如何解释后面那种矛盾的说法呢？也就是，站在飞船上哥哥的角度看来，运动的是弟弟和地球，为什么不可以认为弟弟和地球才是那个时间变慢的呢？

有人意识到是加速减速这个过程在作怪，但是加速减速他一样可以说，我在飞船上看，地球也是加速离我远去，再加速再回来。然后甚至有人说这里有加速度，就应该把广义相对论搬进来解释，在这条邪路上走地更远的甚至说：哥哥不是加速运动么？等效原理说加速度等效于引力，所以哥哥在加速的过程产生了引力，而广义相对论又说引力是时空弯曲，那么哥哥加速使得时空弯曲了。

其实，双生子佯谬不仅是让许多初学者疑惑，在相对论的几何语言普及之前，许多物理学家对它也是头疼不已。他们到了 20 世纪 50 年代还在吵这个，物理学家们吵就不是像我们这样在群里或者论坛里发表一下意见看法，他们是发文章到《自然》、《科学》这样的顶级学术杂志里吵，所以你可以想象一下那时的情况。但是，当几何语言普及之后，物理学界几乎就没人再因为这个争论了，因为在几何语言下，这个问题简直简单得不像话，它就跟 2+2=4 一样清晰简单，那还有什么好吵的。

为什么几何语言可以如此大幅度的降低双生子佯谬的难度呢？这里就涉及到了学习相对论里最重要的一个事：学习相对论最重要的就是要分清楚相对论里哪些东西是相对的，哪些是绝对的。你要是看这个理论的名字叫相对论，就认为什么都是相对的，那就完了。其实相反，狭义相对论的两个根基“光速不变”和“相对性原理”都是绝对的：前者说光速是绝对的，后者说物理定律的形式是绝对的，这其实是一个不折不扣的“绝对论”。

我们再回过来想一想，双生子佯谬到底为什么这么麻烦？不就是因为滥用相对，认为什么都可以相对，所以站在哥哥的立场和弟弟的立场应该都一样从而导致了佯谬么？那为什么我们用几何语言可以轻松把这个问题理清楚呢？因为我们在使用几何语言的时候，我们是把时 3 维空间和 1 维时间看做一个整体的 4 维时空。用 3 维眼光看世界，3 维空间和时间都是相对的，但是 4 维时空确是绝对的。当我们站在更高的维度（4 维时空）里看问题的时候，那些因为相对产生的各种问题就自然消失了。所以，使用几何语言思考相对论，是站在更高的维度上看问题，这是一种思维方式上的降维打击。看过刘慈欣《三体》的同学，想必都对降维打击产生的效果印象深刻，学习相对论，我们也要尽快提高自己的维度~

如果想体会一下 3 维语言处理双生子问题的复杂度，可以看看我之前写过的一篇《双生子佯谬过程全分析》，其处理问题之麻烦，逻辑之烧脑简直灭绝人性。虽然我已经尽量清晰通俗的语言来说这个问题了，但是读者的问题还是跟雪花一样飞过来。最开始我还比耐心的一个个在群里解释，后来就实在受不了了。要跟人把这个问题彻底解释清楚，少则一两个小时，多则一下午，太费时费精力了。而且，后面要理解许多人的问题都非常困难，因为要提出一个正确的相对论的问题也需要一定基础，有些同学相对论的基础知识不牢，提的问题都是问题，那还怎么去理解双生子佯谬呢？

这就像是游戏里刚出来就要去打终极 BOSS，下场自然可想而知，这也是我为什么现在就这么着急的来讲几何语言的一个原因：我实在不想再回答 3 维语言的双生子问题了。而且，把自己局限在这几个效应佯谬里，也不是什么好事，因为讲相对论的人虽然经常讲这个几个东西，但是这些东西绝非相对论的精髓，大家早点从这些框框里跳出去，去感受一下相对论里更精妙的东西才是好事。

14 双生子佯谬的几何解释

好，我们下面来看看从几何语言是如何降维解决双生子佯谬的问题的。我们先假设地球做惯性运动（忽略地球自转和引力场什么的），以地面系为基准系，我们在时空图里画一画哥哥和弟弟的世界线。

弟弟的世界线简单，因为他一直待在地球没动，所以他在空间坐标里没动，流逝的只有时间。那么，弟弟的世界线就是一条跟 t 轴平行的直线。

哥哥的世界线稍微复杂一点，但是也很容易。哥哥从地球出发，去太空浪了一圈再返回地球，这其中的过程无非是先加速远离地球（加速之后有没有匀速我们都不管了），太空里飞了一段时间要掉头返回地球，那么其中必定先减速，再反向加速驶向地球，最后还要减速降落在地球上。因为匀速运动的世界线是一条斜直线，那么加速运动的世界线就是曲线了，这曲线大致就是下面这个样子。

我们用 a 表示哥哥离开地球这个事件，b 表示哥哥返回地球跟弟弟见面这个事件，那么这个时空图就大致是下面这样的：

问题来了，时空图在这里，哥哥弟弟的世界线也都画出来了，那么如何从图中判断哥哥弟弟谁更年轻呢？时空图里纵轴是时间轴，单从时间轴来看，哥哥和弟弟的世界线在时间轴的投影刚好是一样长的，那么是不是这样就代表哥哥弟弟经历的时间是一样长的呢？如果他们经历的时间一样，那么重逢时哥哥弟弟的年龄就应该一样大啊，那怎么还会有双生子佯谬呢？这显然跟事实不符。

那么这个时间到底要怎么看呢？我们先来想一想，我们要判断地球重逢时谁更年轻，其实就是判断在事件 a 和事件 b 之间哥哥弟弟谁自己经历的时间更长，我这里特别强调是自己经历的时间，为什么要这样强调？在牛顿力学里，时间是绝对的，全世界的人都共用一个时间，因此这么说是多余的。但是在相对论里时间是相对的，不同参考系对时间的测量也是不一样的（正因如此洛伦兹变换里两个系的时间 t 和 t’是不相等的），那么在哪个参考系测量的时间可以表征一个人的真实年龄变化呢？或者换句话说，哪个时钟可以表征一个人年龄的真实变化呢？

答案显而易见：只有一直跟自己处于同一个参考系的时钟测量的时间才是自己年龄变化的真实时间。也就是说，只有我口袋里那块表的走时才是真正跟我的年龄增长对应的，我们把这个自己随身携带的时钟测量的时间称为固有时。相对论里时间是相对的，伦敦的那口大笨钟跟我不在一个参考系，凭什么说它的走时测量的是我的时间？

想通了这点，上面的事情就好理解了：我们把哥哥和弟弟的世界线都投影到时间轴，这其实得到的是地面系的时钟测量哥哥弟弟经历的时间，这钟相等没有任何意义。我们得用地面系的时钟测量弟弟的时间，再用飞船系的时钟（也就是哥哥随身带的时钟）测量哥哥经历的时间，也就是哥哥的固有时，这样对比才行。

那么问题来了：根据时空图和世界线，我们要如何得到哥哥的固有时呢？

15 世界线和固有时

在这里，我先给出这个极为重要的结论：世界线的线长等于固有时。

这句话很短，意思却很明确，他就是告诉我们时空图里那个粒子的世界线的线长就表征了粒子的固有时，也就是跟粒子一直保持相对静止的时钟测量的时间。在上面的双生子佯谬的时空图里，哥哥和弟弟的世界线都画出来了，那么我们可以求出他们的线长。现在你说世界线线长等于固有时，那我们要比较哥哥弟弟的固有时，直接比较他们的世界线线长就完了。

所以，如果我们知道上述结论，那么双生子佯谬这个问题就简化为比较哥哥和弟弟世界线的线长，谁的长一些谁经历的时间就多一些，那谁就更老，那问题就相当简单了。因此，现在问题的关键就是如何理解上面的结论：为什么在闵氏时空里世界线的线长会等于固有时呢？

这个事情我们可以这样理解：固有时是什么？固有时就是自己随身带的时钟测量的时间，说得再准确一点，那就是跟自己一直处在同一个参考系里的时钟测量的时间。因此，如果一个时钟始终跟你处在同一个参考系里，它自然觉得你一直是静止不动的。比如，在飞船里的哥哥虽然要经历加速减速运动，还可能在宇宙里各种浪，但是在飞船里的人和时钟看来，哥哥一直坐在那里没动。

那么，重点来了：时钟觉得你不动，其实是觉得你在空间里没动，也就是说觉得你在空间上的位移为零。那么，你在时空（时间 + 空间）里移动的间隔就将全部由你在时间上的间隔贡献（因为空间没动，间隔为 0）。

什么意思？我们再来理一下时空间隔这个概念：狭义相对论统一了时间和空间，用时空图上的一个点表示发生在某个时间某个空间上的一个事件，那么两个事件肯定就表示为时空图上的两个点，那么这两个点之间的距离（闵氏距离）就是这两个事件的时空间隔。而且，我们还反复强调了，闵氏几何里的时空间隔，就跟欧式几何里的空间间隔一样，它是不会随着参考系的变化而变化的。也就是说，只要发生了两个事件，那么不管我是在地面系看，还是在飞船系看，这两个事件信息虽然不一样，但是它们的时空间隔一定是一样的。

在欧式几何里，欧式线元是 dl²=dx²+dy²，所有在 x 轴上相隔 dx，y 轴上相隔 dy 的两个点的空间间隔，或者说空间距离也就是dl²=dx²+dy²。同样的道理，在闵氏几何里，闵氏线元是 ds²=-dt²+dx²，所以，在时间上和空间上分别相差 dt、dx 的两个事件，它们之间的时空间隔也就是 ds²=-dt²+dx²。

我们现在想知道固有时，也就是想知道跟自己处在同一个参考系里的时钟的走时。上面我们已经分析了，在自己所处的参考系里，肯定觉得自己是静止的，也就是空间间隔 dx=0。因为时空间隔是 ds²=-dt²+dx²，把 dx=0 代入进去我们就能得到ds²=-dt²。这就是在上面说的，自己参考系里的时空间隔全部由时间间隔贡献的意思。

有了ds²=-dt²，事情就明朗了：dt 就是在自己所在参考系里的时间流逝，而 ds 是时空间隔，也就是时空图上两点的距离。这个微分符号 d 就是在告诉我们这是两个间隔无穷小的事件，如果我们把许多无穷小的这种事件累积起来（也就是对ds²=-dt²做积分运算），那么 dt 累积起来就是时钟流逝的时间，也就是固有时；而把 ds 累积起来，也就是把所有相邻时空点之间的距离累积起来，那得到的就是时空图里这条世界线的长度。

这就无可辩驳的向我们证明了：世界线的长度等于固有时。

其实，只要我们理解自己相对于自己所在的参考系肯定在空间上是静止的，所以时空间隔全部由时间间隔贡献。而时空间隔就是时空图里两点的距离，这个距离累积起来就是世界线的长度，而时间间隔累积起来自然就是这个参考系里流逝的时间就行了。上面做的各种简单的计算，无非就是从数学上更加严格地证明了这一点而已。

想通了这点就会觉得其实“世界线长等于固有时”是很正常的事情，在一些相对论的教材里，他们甚至直接拿这个来定义标准钟的。也就是说，他们在教材不会向你解释为什么“世界线长等于固有时”，而是直接告诉你“只有世界线的线长等于固有时的钟才是标准钟”，才是准确的钟，否则你的钟是有问题的。可见，在大家眼里，这个结论实在是非常自然的。

16 双生子佯谬之完结篇

好了，如果我们能够理解“世界线的线长等于固有时”，那么困扰大家多年的双生子佯谬就瞬间变成了一个极其简单的问题。我们再来看看双生子佯谬的时空图：

比较哥哥弟弟重逢时谁的年龄更大，就是比较他们两个的固有时，就是比较哥哥和弟弟世界线的线长。那么，他们两个的世界线谁的更长一些呢？

其实这根本都不用定量的去计算，一眼就能看出弟弟的世界线更长，因为闵氏几何里线段长度是时间和空间项的平方相减之后再开方得到的。这个求线段距离的公式我们前面也说了，其实就是闵氏线元稍微处理一下，如下图：

所以，如果两条线在时间轴上长度一样（比如哥哥和弟弟的时间都是从 a 到 b），那么在空间上走的越多的它的总线长就越短。弟弟静止没动，他的世界线是完全平行于 t 轴的，在 x 轴上都没有任何分量，也就是Δx=0，所以他的世界线肯定是最长的。哥哥因为去太空飞了一圈，所以空间上的分量Δx>0，那最终得到的 S 的值肯定就比弟弟更小了。

我们可以想象一个最极端的情况，我们假设哥哥以光速运动，那么它在空间上走的距离就最大。而我们知道光子的世界线长度为 0，所以这时候哥哥的世界线长度就是最小值 0 了，0 肯定比弟弟的世界线长度更小吧。

如果大家对这种粗略的讨论不放心，我们可以换种更精确的方式讨论。如下图，我们把弟弟和哥哥的世界线用很多平行于 x 轴的虚线分隔开，如果我们的分割线足够多，那么在每一个小段里哥哥的世界线就可以近似看做一条斜直线，而它的线长是显然比弟弟世界线里的那一小段短的（这我们在上面已经给过结论了）。由于每一小段里哥哥的世界线都更短，那么累加起来的总世界线肯定还是更短了。

总之，大家如果理解闵氏时空的线长计算公式，我相信理解哥哥的世界线更短是非常容易的，而世界线更短就意味着自己经历的时间（固有时）更短，那么重逢时哥哥就更年轻。这样，双生子佯谬就是很明显的事情了。

于是乎，我们发现让我们头疼不已的双生子佯谬就这样被解决了。在几何语言里，复杂的双生子问题被简化到仅仅比较一下哥哥弟弟两条世界线的线长就行了，而只要我们理解在闵氏几何里计算线长要用闵氏几何的方式（ds²=-dt²+dx²）去度量就没什么问题了。其实，你也不用觉得奇怪，把代数问题几何化之后带来问题难度的大幅度降低并不是什么奇怪的事情，我们在初中高中的数学里，不也经常借助画图去理解函数、方程的性质么？

这样处理问题简单是简单了，但是细心的人还是会有疑虑，他觉得：虽然你在这个以地面为基准系的时空图里确实严格地证明了哥哥的世界线更短，所以回来的时候更年轻。但是我如果不以地面系为基准系呢？我在其他的参考系里来看，来画时空图，比如我要是站在哥哥飞船的视角来画时空图，那结果会不会又不一样呢？因为说到底，大家觉得双生子佯谬难以理解，就是因为你可以站在弟弟的角度，也可以站在哥哥的角度，这样一相对就没完没了了。

这在以前的思维里确实是大问题，但是，在几何语言里这确不是问题。为什么呢？因为线长是一个几何量，这种几何量是不会随着坐标系的变化而变化的（因为它们是根据线元定义的，而线元在不同的坐标系里都是一样的），也就是跟坐标系的选择无关。这一点我们在二维欧式几何里也可以非常清楚地感觉到：你在二维欧式平面里有一条线段，那么这条线段的长度就是固定的。不管你是上下左右的移动这个直角坐标系，还是顺时针逆时针旋转这个直角坐标系，线段的长度始终都是一样的，这一点相信大家不难理解。

那么，同样的，在闵氏几何里，不论你选择哪个惯性系作为基准系，一条世界线的线长都是一样的。也就是说只要哥哥的世界线在一个参考系里比弟弟的世界线短，那么再所有的惯性参考系里都比弟弟的世界线短。这就跟在欧式几何里一根木棒只要在一个直角坐标系里比另一根木棒长，它在所有的直角坐标系里都比那根木棒长一样的道理。

其实，我们再仔细想一下，当初我们为什么选择闵氏几何来描述狭义相对论？不就是因为我们发现了在洛伦兹变换下，也就是在惯性参考系之间不论怎么相互转换，ds²=-dt²+dx²作为一个整体它的值是不变的么？然后我们以 ds²=-dt²+dx²为线元建立了闵氏几何，而在闵氏几何里曲线的长度就是根据这个线元来定义的。所以，世界线的长度在闵氏几何不同的参考系里肯定就是一样的，我们也压根没必要舍近求远，去选择更复杂的参考系给自己找不痛快。

这样，我们就能消除那个疑惑，放心大胆的说哥哥的世界线更短了。于是，用闵氏几何讨论双生子佯谬的问题就全部结束了。其实，只要把几个关键的弯转过来，你就会发现双生子佯谬其实是非常简单的一个问题，它完全不值得我们花费那么多的时间精力在这里绕来绕去（这个问题跟薛定谔的猫在社群里并称两大月经问题），但是不使用几何语言，这好像也是没办法的事，太复杂了。相对论还有非常多精彩的东西等着我们去探索发现，在双生子这棵小树上把自己吊死了岂不可惜？闵氏几何虽然看上去有点怪异，但是当我们顺着思路慢慢看的时候，就会发现它其实也没那么奇怪，它不过就是在欧式线元的前面加了一个负号而已，其他的逻辑跟欧式几何都几乎是一模一样的。

17 结语

文章到这就先告一段落，能够坚持看到这里的那妥妥的都是真爱了。我写这篇文章主要是想让更多人了解闵氏几何，了解闵氏几何是如何处理狭义相对论里的问题的，最好是让读者能开始习惯用几何语言讨论相对论问题。

所以我不能直接给你下定义，然后告诉你如何用闵氏几何处理这个那个问题，因为这样很多人会不服气，凭什么相对论的问题可以转化成这样的几何问题？为什么闵氏几何里的这个就对应了相对论里的那个问题？因为闵氏几何并没有那么直观，你把狭义相对论翻译到闵氏几何并不像我们把一个图形画到黑板上那么显而易见，所以我必须先把自己的知识清空，从头从零一点点的开始讲，让大家自然的切换到闵氏几何中来。于是，文章就不可避免的长了起来。

另一方面，我这只是科普性质的文章，重点是想让大家了解闵氏几何处理狭义相对论问题的核心思想，因此，我不会像教科书一样把各个概念和术语都写出来。相反，为了降低大家理解的难度，能不用术语的地方我尽量不用术语，能不写公式的地方尽量不写公式，我这真的只是一个闵氏几何的入门篇。大家如果想更全面深入的了解相关内容，可以去找专业的闵氏几何和相对论的教材，这里我还是推荐北京师范大学梁灿彬老师的《从零学相对论》（入门篇）和《微分几何入门与广义相对论》（高级篇），需要这两本书的电子版和配套教学视频的，可以在后台回复“梁灿彬”或者“梁老师”。把我这篇文章看懂了，再去看《从零学相对论》应该会很容易，更深入的问题我们后面再说。

最后，长尾君希望大家能和闵氏几何搞好关系，毕竟后面还有更多更精彩的话题都指着它呢~

更新：

根据这两天读者的反馈，看来还有两个地方是大家比较困惑的：

1、为什么博尔特那里还是减去光速 c 乘以博尔特的时间，而不是乘以博尔特的速度？而且为什么从火车系去看，博尔特的那个Δs 的值依然不变？

答：狭义相对论的几何语言的核心就是：三维欧式空间里Δx²+Δy²+Δz²不随坐标系的变化而变化（Δx²+Δy²+Δz²=Δx’²+Δy’²+Δz’²），所以我们在闵氏几何里也构造了一个Δs²=Δx²+Δy²+Δz²-(cΔt)²，让这个量是不随坐标系变化而变化的（Δx²+Δy²+Δz²-(cΔt)²=Δx’²+Δy’²+Δz’²-(cΔt’)²），对于光这个值刚好等于 0，这个刚好对应了光速不变而已。这个Δs 是我们自己构造出来的一个东西，叫做时空间隔，它的目的就是要找到这样一个东西，让他类似于三维空间里的长度不随坐标系的变化而变化，所以当这个由光变成博尔特的时候，依然还是光速 c 乘以时间，因为Δs 的形式就是这样的。

为什么博尔特的Δs 不会随着参考系的变化而变化，这个通过洛伦兹变换可以很容易证明Δx²+Δy²+Δz²-(cΔt)²=Δx’²+Δy’²+Δz’²-(cΔt’)²，我们现在只是用几何语言来诠释这个东西，来寻找这个等式后面的几何意义。

2、最核心的，双生子佯谬那里，为什么不能是站在哥哥的角度，是弟弟和地球远离地球，再回来与哥哥重逢呢？这样运动的就是弟弟，变老的就是弟弟啊。

答：看来大家这里还是没看太明白，其实这点我在文章里花了很大篇幅特地解释了，在 16 节的后半部分～

如果从代数语言来说，惯性运动和非惯性运动之间的区别是绝对的。举个例子，你在加速的汽车上，你会感觉到椅子的推背感，减速的时候身体会前倾，减速太快你可能会撞到前面去，这种体验在家里静止的人是没有的。所以这两种参考系之间的区分是绝对的，你在加速的车上和在家里静止的人的区别是绝对的，这无法通过相对而消除。你不管以谁为参考系，只有在车上加速减速的人会感觉到推背感和身体前倾。

而我在文章里是通过几何语言来区分，从几何语言来看，世界线（作为一连串事件的集合）是绝对的。在闵氏时空里，世界线的长度就跟欧氏几何里一根线段的长度一样，因此它的长度是不会随着参考系的变化而变化的。所以，哥哥的世界线只要在一个参考系里比弟弟的短，那么在所有的参考系里都比它短，我们没必要再给自己找麻烦选择负责的参考系。这是几何语言的核心，抓住那些不随参考系变化而变的量~

再更新：

还有一些朋友对尺缩效应的那个图有疑问，原因各种各样。下面这张图是梁灿彬老师《从零学相对论》里关于尺缩效应的解释，相信不管你是出于什么原因，看了这个应该能明白了。

相关回答：

如何深入浅出地讲解麦克斯韦方程组？7303 赞同 · 358 评论回答怎么解释麦克斯韦方程和牛顿力学的不兼容性?8841 赞同 · 326 评论回答微积分到底是什么?3 万赞同 · 1739 评论回答杨振宁的成就很伟大吗？2.4 万赞同 · 1089 评论回答如何学好高中物理？196 赞同 · 62 评论回答

【长尾科普系列】已出版 4 本书：

事实上我们所知道的食草动物，几乎没有一种是单纯的素食主义者。

路透社曾报道过印度的一头牛，在一个月之内吃掉了 48 只小鸡。

鹿会吃掉受伤后无法飞走的小鸟，还被人拍到食用野兔的尸体。

家兔吃肉对养过兔子的人来说并不新鲜。加拿大的白靴兔也被发现吃鸟，甚至其他兔子和猞猁的尸体。松鼠也会吃肉，不管是死掉的老鼠、还是一只鸟，它们都不介意。

河马一夜能吃掉 40 公斤草，但是偶尔也会吃黑斑羚、幼年非洲象，甚至同类的尸体。现在它们已经被食草动物除名，成了杂食动物。大象会利用自己灵活鼻子捞鱼吃。

长颈鹿爱好捕食者吃剩的骨头。这种现象还有个专有名词，叫做嗜骨癖（osteophagia）。

草食性哺乳动物吃肉并非特殊个案。在摄像机的帮助下，从圈养到野生，从热带草原到北极圈，到处都能发现这种现象。

一种解释认为，食草动物吃肉就和吃土、吃毛一样，是一种异食癖。在缺乏蛋白质或某些矿物质，或者有寄生虫时，它们就会以吃肉代替吃植物。

不过，许多在人工喂养下，没有明显疾病的食草动物也会对肉表现出兴趣。这说明食草动物吃肉不见得是病理性的行为。

首先，食草动物也能消化动物蛋白和脂肪。对于它们而言，动物是比植物更高效的营养成来源，不但能量密度更高，而且脊椎动物并不能直接利用植被中的纤维素和木质素等，需要靠肠道菌群才能分解消化。

所以，牛羊和猪的饲料中经常添加 5%以下的“动物性饲料”，比如牛奶、肉粉、肉骨粉、鱼粉。曾经流行一时的疯牛病，就是牛饲料中的肉骨粉导致的。

给你的宠物兔喂排骨同样是不明智的。它们代谢动物脂肪的能力不强，长此以往会导致肥胖等问题。

其次，所谓的“吃肉”“吃素”主要是为了分类方便，它们的分类界限并没有那么明显，绝对的肉食动物和植食性动物都是极少数。

比如盛产草食性哺乳动物的偶蹄目（鲸偶蹄目），也包括各种杂食和肉食动物。

早已灭绝的偶蹄目动物蒙古安氏兽（Andrewsarchus mongoliensis），根据骨骼推测也是一种食肉或食腐动物。

鹿的祖先古鼷鹿（Dorcatherium）和一些现代鼷鹿也被认为是杂食动物。它们吃昆虫、水生动物和腐肉。

回到食草动物为什么要吃肉的问题上，其实正确的问题应该是：为什么它们要吃草？

在一个陆生生态系统中，能量沿着食物链流动：首先，植物通过光合作用，固定太阳提供的光能。其次，食草动物通过吃植物，获取自己所需的能量。最后，食肉动物又从食草动物的肉中获取能量。

考虑到食物链每级的能量转化效率不超过 10%，一个生态系统能承担的食肉动物的数目非常有限。而供养一群肉食者，就需要相当庞大的能量消耗。

以人类为例，世界上约有 70 亿人，同时养着 650 亿只鸡、8 亿头猪、10 亿头牛、20 亿头羊。它们生产的肉、蛋、奶依然不够所有人食用。

这决定了肉食性的动物只能是少数，大多数动物必须以素食为生。

然而，这并不能阻止广大食草动物们对偶尔开荤的向往。

食草动物才不是吃素的 https://www.zhihu.com/video/1116367988017696768