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楼上的

@Devymex Wang

列出的两个原因都很正确。我在别的答案里多次提过 No hoof, no horse 这句话，蹄对马的重要性不言而喻。人类把马驯养（domesticate）后便改变了马的部分自然习性，无论是对挽用马（

挽用马是什么马？ – 马

） 或是骑乘马而言都是如此。

举个例子，在完全自然条件下生存的野马，大部分时间是无需急速飞奔的（gallop），除非面临天敌的追赶，而且也可以趋利避害，绕开乱石较多的地面，以避免马蹄被伤到。而被人驯养的马，是被赋予了功用的，挽用马用来拉货或拉车，骑乘马作为休闲娱乐、赛马或马术表演等，都负载了额外重量和增加了运动量。他们的马蹄就会较野马磨损快且容易受伤（crack）。就像这样：

如果不去给马蹄上药及时医治的话，那个缝隙里就会滋生细菌，最终发炎感染，这时钉上马掌就像给我们的脚穿上鞋，起到很好的保护作用（马掌的英文就是 Horse Shoe）。

对了，马蹄翻过来的图应该是这样，上面答案里的图那个三角沟壑的部分(frog)淤积了很多淤泥，对马蹄也是非常有害的，同样会滋生细菌发炎感染。所以我之前在马场实习时每天早上第一件事就是把马蹄这样抬起来，再用一个小钩子将这些淤积在马蹄里的脏物除去。

但是因为钉马掌的成本很高，所以并不是每匹马都会有马掌。例如在我之前工作的马场，几乎所有用作繁育的母马都没有马掌，但一定需要修蹄师来定期修蹄（trim)，就像我们要定期剪指甲磨指甲一样。

值得一提的是，在西方国家，修蹄师是一项非常有技术含量且收入很高的职业，甚至相当于马蹄的专科医生。在爱尔兰，想成为修蹄师需要在专门的学校学习四年，最终经过严格的评审，拿到学位之后才能持证上岗，每年毕业生也只有 20 位左右。其中就有一位目前在中国 / 亚洲发展，就是我认识的 Arthur, 他可是拥有修蹄师硕士学位的哈哈：

爱尔兰小伙重庆钉马蹄 还是个硕士生·重庆晨报数字报

宝贝儿，你想多了。

赐死这事儿，是个制度。

是个优待王公大臣、给你留点体面的制度。

你要是想体面，皇帝就让你体面，你要是不想体面呢？

那派去赐死你的人就帮你体面。

王族刑于隐者，所以议亲。刑不上大夫，所以议贵——刘昫·旧唐书·卷八十五·列传第三十五

所以归根结底，赐死是一个兼具“礼”与“刑”双重性质的处置方法。所以说先秦大多赐剑——伍子胥领夫差之剑而自尽、白起领昭王之剑以自裁，反正这剑我给你拎过去了，今天肯定是得砍死你，无非是你自己砍还是我帮你砍的事儿。

秦一统天下以后建立了郡县制，加强了中央集权，这种情况下皇帝的权力扩大了，臣子反抗的能力更弱了。于是赐死开始更优雅一点了，我把意思递过去，识相的你自己死

岁余，诸侯宾客使者相望于道，请文信侯。秦王恐其为变，乃赐文信侯书曰：“君何功于秦。秦封君河南，食十万户。君何亲于秦。号称仲父。其与家属徙处蜀！”吕不韦自度稍侵，恐诛，乃饮酖而死——司马迁·史记·吕不韦列传

到了汉朝，赐死的花样也越来越多，明诏赐死、暗示赐死、赐牛酒、召廷尉，多种方式，总有一种适合你。要么你选择乖乖受死，免得遭罪，要么就大家都不体面。

那有没有不肯死的？

当然有啊！汉文帝的舅舅薄昭犯了死罪，文帝看在这是自己亲舅舅外带有迎立之功的份上想赐死他，结果薄昭不肯，表示老子就是不死，就是不死！你能咋地？

咋地？我派满朝大臣到你家门口哭丧去，宣告你社会性死亡，你死不死？

死了。

所以最后这事就成了一个传统文化——我不羞辱你，你也别恶心我，大家都是文明人，为什么不优雅一点呢？

上（ 汉文帝 ） 深纳其言 ，养臣下有节 。 是后大臣有罪，皆自杀，不受刑。至武帝时，稍复入狱，自宁成始——班固·汉书·贾谊传

其实接着挺下去行不行？当然行，然而接着挺下去，体面就没了，就是抓捕下狱、全家一起遭罪了。当然有人表示我就是有骨气，就是要跟你硬刚到底，比如王嘉，药送到嘴边死活不吃，最后让汉哀帝大怒，“系狱二十馀日，不食欧血而死”，有意思么？

所以说赐死这事跟皇权是紧密结合的，是在已有的司法体系框架下对大臣们的一种优待——他要是能跑，不用等到你赐死也能跑；他要是能不死，那你肯定也知道自己弄不死他，干脆就没法下这个诏。不然曹髦为什么要带头冲锋？直接把司马昭赐死不就完事了么！

其实啊，被赐死的人里还是有挺多爱惜生命不想死的。然而形势比人强啊，你以为赐死就是老哥一个到你家跟你扔道旨意过来么？人家是带着全套的“体面套餐”来的！你想留遗言？没问题！想料理后事？没问题！想吃点好的？没问题！体面人嘛！只要你肯死，这些都不是事！不过你要是不想死，那可就不行，大伙就得帮你死！建中四年（公元 783 年）十月，卢杞诬告检校司空崔宁与朱泚通谋，《旧唐书 • 德宗纪》言“赐崔宁死”实则由“中人引宁于幕后，二力士自后缢杀之”

所以说啊，大家还是体面一点的好……

参考文献：

1. 瞿同祖.中国法律与中国社会 ［M］.北京 ：中华书局,1981.
2. 宋杰.汉代的秘密处决与政治暗杀———“隐诛”［J］.史学月刊,2013，（7）.
3. 陈玺.唐代赐死制度之演进与适用[J].华东政法大学学报,2015,18(04):119-132.

网上经常出现“户口警察”，就是人与人长得像，就一定有关系，比如网络上对于大公司换帅的传言。

其实毫无血缘关系的人长得像并不是一件多么稀奇的事

马云与小马云也有几分神似

还有网上的一众吃模仿秀饭的人，他们都和正主有些神似，

国外也有这样的案例^[1]

原因是：

这些人具有基因相似性

来自西班牙的研究人员招募了 32 对相似的志愿者，并且对他们进行了面部识别分析及基因分析^[2]，发现：

有 16 对的总体得分与用同一软件分析的同卵双胞胎相似，也就是软件分析的结果认为这 16 对和双胞胎一样相似；同时基因分析结果显示，这 16 对“真正”长得相似的人拥有的基因相似度明显高于软件认为不太相似的另外 16 对人。
有 9 对更为相似的人类对共享了超过 19,000 个这样的遗传标记。这些共享的遗传变异不仅关联到面部特征，还可能影响个体的体格、行为习惯甚至个性特征。例如，一些 SNPs 与面部的特定形态特征有关，如嘴唇和额头的形状、身体质量指数（BMI）、骨密度等。这些发现表明，尽管我们每个人都是由独特的遗传代码构成的，但某些特定的遗传变异可能在不同个体间产生相似的面部特征。

从某种程度上来说，他们的相似性只是运气使然，是由人口增长所致。毕竟，基因塑造面孔的方法就这么多，人口一多总能重复上。

我们不能仅凭外貌就斩钉截铁地去做户口警察，判断别人一定如何如何。

谢邀。

多图预警

题主讲电视剧， 我就回答电视剧。

退后

话说，《封神榜》是一部什么电视剧？

神话剧。

在此之前的 1986~1988 年，另一部神话剧《西游记》取得了巨大的成功，以至于到现在，每个暑假，各个卫视还在循环播放该片。

拍摄该片的中央电视台赚了个盆满钵溢。

那么全国各个电视，对此是非常眼红的。其中最眼红的，是上海电视台。

作为神魔小说的两大高峰之一，《封神演义》可能在文本质量上不及《西游记》，但是想象力却有过之，拍成电视剧再合适不过。

《封神榜》的拍摄计划，就是在这个氛围下提出来。

可以看出来，上海电视台的野心是很大的。剧中大多数演员，来自于上戏、长春电影制片厂和人艺等老牌机构。而导演则是著名电视剧女导演郭信玲。卡司阵容强大无比。

同时，为了赶超中央电视台的制作质量，他们从香港请来了演员和制作团队协助本片的拍摄。

出事就出在这些香港人身上……

他们对本片的美术风格做出了革命性的改动！

据说，当时内地制作团队花费了大量的时间去设计本剧的服装，一共设计了七稿，才感到满意。

但是，就在这个时候，上面来了一个决议：所有设计作废，采用香港人的设计方案。

对此，在本剧中饰演“长者”姜子牙的蓝天野立即表示：

那么，是什么样的服装，让他如此生气呢？

我们来截图看一下

……

…………

………………

……………………

这尼玛是古装神话剧？？？？

三流小城市的夜场艳舞吧！！！！

就连剧中饰演伯邑考的香港演员汤镇宗也表示

汤镇宗还吐槽：这个裤子不是裤子短裤不是短裤的东西，还裁剪得在我的膝盖下面，简直难受死了！

傅艺伟对本剧妲己的服装提出了强烈的抗议。许多过于暴露的服装都不得不加上了一层纱布，傅艺伟才能勉强接受。

毕竟香港还是有自己的美术风格的。即使是神话剧的服装设计，也要按照惯例来。但是这波香港人来到了内地，就像来到了大草原上的小老鼠——撒欢了。

真想喝茶远目啊……满满都是关于童年性启蒙的回忆……

咳咳，言归正传。香港人做了什么呢？

我们来做一个比较。

这是黄飞虎。

这是伯利克里。

（注意两人的头盔）

这是商纣王的宫殿

这是克里特岛的宫殿残骸

（稍有常识的人都知道，中国古代的建筑是以土木为主的吧？）

这是妲己

这是古希腊的贵族妇女

这是商纣王的酒池

这是古希腊人的浴室

你们！

不觉得！

太相似了吗！

对于香港人来说，中国神话是什么样子他们是既不清楚，也不关心的。他们所熟悉的是西方那一套，希腊的哪个主神他们不认识！于是，一个好端端的中国神话故事，被生生地染上了希腊神话的色彩。

但是，这还不是全部……

这是木吒

这是圣斗士星……

这是雷震子

这是超级赛亚人

看完以上这些图之后……

可以很有理由地怀疑，当时的香港团队，根本也不了解希腊神话！日本漫画，才是他们模仿的主要对象！

甚至多年以后，《封神榜》还专门出了一个内地动画版本，它长这样。

……抄二道贩子还能抄上瘾……

总之，90 年版的《封神榜》的整体美术风格，在经过香港团队的胡改一气之后，变成了中国风、古希腊风、日漫风再加上一点莫名其妙的现代时尚风的大杂烩……没有内地制作团队的坚持，估计仅剩的中国神话味道，也要丢掉了！

若不是当时的演员，编剧和导演的能力极其强悍，本剧很有可能就栽在这坑爹的美术设计上。

好了，我们回到正题：妲己为什么没事儿就给纣王喂葡萄？

题主的描述里这么说：

印象最深刻的是，每次表现纣王骄奢淫逸的时候，都是歌舞奏乐漏肚脐眼，然后纣王躺在一个榻上，妲己就没完没了给他喂葡萄。

而关于所谓“骄奢淫欲”的场面，在古希腊的壁画和陶瓶是这样表现的

我们可以看到，画面中有奴隶妓女，有长榻，有乐器（竖琴）和奴隶乐手（吹奏竖笛者），小桌子上还有酒杯，旁边有酒罐。

还有更污的图，我就不放了……

柏拉图的《会饮篇》中，曾经详细地描述了当时的人是如何开 party。按照他的描述，希腊贵族会躺在长椅上，一边喝葡萄酒酒一边聊天，还会有奴隶妓女载歌载舞地助兴。

估计这就是香港人眼中的“骄奢淫欲”吧……反映在电视剧中，就是这样的

……对不起题主，我找遍了整部剧集，也没有找到你所说的吃葡萄的场景。

我所能看到的，只有喝酒，喝酒，喝酒，不断地喝酒。跳（luo）舞，跳（luo）舞，不断地跳（luo）舞……

这倒也符合商人的习惯，商人爱喝酒，甚至因为酗酒而亡国，这也是出名的。

然而题主的疑问也不是没有道理的

从这张图中我们可以很明显地看到，商纣王的桌子上，是常年放着葡萄的。

并且我印象中商纣王也确实有吃葡萄的镜头……如果有哪位知友能够找到，还请贴上来分享。

但是，在大多数有关纣王享乐的镜头中，还都是以喝酒为主的。

为什么题主会留下他一直在吃葡萄的镜头呢？

我认为

1、桌子上确实经常有葡萄

2、整体的美术设计一直在刻意地模仿希腊神话，使得观众下意识地觉得，他们喝的是葡萄酒……

于是，题主下意识地以为妲己一直在喂纣王吃葡萄。

不得不说，这不怪题主！这是当时的（香港）制作团队对希腊神话的拙劣模仿造成的恶果！

真相就是这样。

以供笑谈。

补充：有人问葡萄的事，葡萄是地中海农业三件套之一，其余两位成员是小麦和橄榄。葡萄的作用是酿酒，补充热量，同时还能解决饮水清洁的问题。

结论，结论是啥呢？结论就是，其实饮酒在西方古代也不算特别奢靡的事情。香港人啊，naive。

利益相关：罗马史小学生。

————————–

还有人觉得这版《封神榜》的服装很好，认为他拍出了独特的风味

我真的……

本版《封神榜》确实贡献了非常多经典的角色，比如傅艺伟的妲己，达奇的纣王，以及由上文出现过的蓝天野老先生奉献的姜子牙

蓝天野先生是什么样的人物？他是人艺的老演员，演过著名的话剧《北京人》、《茶馆》、《蔡文姬》，在表演上有数十年的积淀。

知乎上不是说过，话剧演员才能谈表演艺术吗？那么蓝天野先生就是艺术家。

而除了演员之外，他还有另一个身份：画家。

师从李苦禅和许麟庐两位国画大师，蓝天野先生演完这部《封神榜》之后就开始专心于绘画，在中国美术馆开过画展。

为什么蓝天野的姜子牙那么好？因为扮演他的人，本来就是一个演技卓越，精通中国传统文化而又具有仙风道骨的老先生啊！

现在你再回头看看，你大概就能明白为什么蓝天野先生会这么生气了

他本人就是画家，又是老演员，他说这套东西不行，那就真的不行。让这样一个德艺双馨地老先生委曲求全，戴着那些莫名其妙的发箍演戏，你觉得合适吗？

在《封神榜》之前，《西游记》已经成功地完成了中国神话剧的美术风格的奠基工作。

比如，同样是仙风道骨的老神仙，《西游记》里的造型是这样的。

比较一下，你认为，是《封神榜》的造型风格更好呢？还是《西游记》的造型风格更好？

放个图你感受一下

我就不提其他主创人员的履历了……傅艺伟有多漂亮，演技有多好你们可以看到。

别跟我扯历史了。这是神话剧，强求真实不合适。况且《封神榜》和《西游记》的原作者写作的时候，也没有多么在乎历史真实。吴承恩和许仲琳又不是历史学家，特别是许仲琳，他对所谓商周的了解，还不如现在一个本科生。

在本文中，我们聊的是电视剧，我在乎的，是神话剧的美术风格。中国的神话故事，凭什么要依靠希腊神话去支持？况且，这还是在我们已经有成功经验的前提下。

《西游记》花费多年时间，成功趟出了一条有中国特色的神话剧道路。正是《西游记》的成功，使得《封神榜》可以调用更多的资源，去拍摄另一部神话剧。

但是，香港人的胡搞八搞……一锅老鼠屎，坏了一锅粥。

如果没有香港人的贸然改动，我可以肯定，本剧将会更加优秀。甚至，我可以说，如果没有香港人的改动，《封神榜》完全可以超越《西游记》。

然而现在呢？呵呵，你们还能看得下去电视上那些瞎编乱造的神话剧吗？现在，神话剧已经成为烂剧的代名词了。

一句话：香港人的胡作非为，拖累了本剧其他工作人员的才华和辛苦，使得本剧功亏一篑，也使得中国神话剧的发展走向了奇怪的方向。

我作为《封神榜》爱好者 +90 版《封神榜》爱好者 + 幻想文化爱好者，不得不由衷地感慨，造化弄人。

最后再放一张图，蓝天野先生生活照

2016 年，我 28 岁，初为人父。

小家伙可能是话痨转世，才几个月大就一天到晚自言自语，咿咿呀呀说个不停。

有一次，他的嘴里连续蹦出了“mama”和“dada”。

我们知道这只是小家伙的“口误”，却还是兴奋不已，媳妇甚至湿润了眼眶。

在这之后，我和媳妇竞争了起来，她教小家伙说“mama”，我教小家伙说“dada”。

喂小家伙吃饭的时候，媳妇先喂一口，说：“叫 mama，mama。”

我接着喂一口，说：“叫 dada，dada。”

如此反复，乐此不疲。

媳妇全职在家带小孩，和小家伙相处的时间比我多很多，但小家伙比较没良心，早早学会了叫“dada”，却没有学会叫“mama”，让我很是得意。

有一天，我提前半小时下班，回家后蹑手蹑脚地走到了卧室门口，想给媳妇和小家伙一个惊喜，隔着房门，我听见了媳妇温柔的声音：“叫 dada，dada。”

顾宇：有一个儿子，是什么样的体验？

顾宇的知乎回答索引

接前排大佬们关于辐鳍鱼和肉鳍鱼鱼鳍的分析~

上周刚刚听完哈佛医学院 Matthew Harris 的讲座，太符合这个问题的描述了。

前排回答已经强调了登陆的关键在于四肢的进化，而四肢进化的关键在于肉鳍骨骼这种硬件配置，来支撑自身的爬行。

对比四足动物、辐鳍鱼和祖先在内骨骼方面的进化，辐鳍鱼（左边）简化了内骨骼，变成了近端 radials 和远端 radials 和 dermal fin rays。而四足类动物，比如人，鳍通过增加远端长骨而变得更复杂，形成了由上臂（肱骨）、前臂（桡骨和尺骨）和手（腕骨和手指）三部分组成的肢体。

基于这种已知的进化学差别，Harris 实验室用正向遗传学方法，在斑马鱼里随机制造突变，然后筛选出所有有鱼鳍形态变化的个体，再进行基因测序，以此来对应基因型和表型。

显然很卷的 Harris 实验室筛出了几百种和鱼鳍内骨骼发育相关的突变体。

有让单一鱼鳍尺寸更长的突变（对应了临床的巨指症）。

有让斑马鱼长出飞鱼同款鱼鳍的突变（Harris 教授明确表示这款斑马鱼还不会飞，实验员和鱼都需要继续努力= =）。

其中，最有意思的一款，是一款命名为“ rephaim”的突变，如同推动了鱼类登陆。

“ rephaim”取自圣经里传说的巨人种族，手脚上都有多余手指。

“ rephaim”突变的鱼多长出了逐渐接近四足动物的四块长骨，这些长骨通过类似肘部的关键和近端骨骼连接，成了一种间于四肢和鱼鳍之间的状态（命名为“鳍肢”）。

经过一系列的基因测序，Harris 实验室发现了 waslb 突变导致了这几根长骨的形成。

再根据他们之前对 Hox 基因的了解，他们发现在 waslb 基础上再敲除 Hox13 基因，能长出更多的长骨。

后续的研究还有很多，但已经可以明确waslb、vav2和 Hox 这几个基因能够主要调控鱼鳍向肉鳍的转变，同时还涉及 Wnt，TGFB 的调控。

相信在未来基因编辑技术越来越成熟的时候，鱼类大概可以 v50 一键登陆。

一、电和磁到底有没有关系？——奥斯特：电流的磁效应
二、电如何产生磁？——安培定律
三、磁如何产生电？——法拉第电磁感应定律
四、什么是 B-H 曲线
五、什么是永磁同步电机
    5.1 电机原理的通俗理解
    5.2 电机的数学模型
        5.2.1 磁链方程
        5.2.2 电压方程
        5.2.3 力矩方程
    5.3  DQ 坐标系下三大方程
六、什么是电压极限圆和电流极限(椭)圆
七、旋转磁场是如何产生的

工程问题本质上是解决两个“流”的问题，一个是“信息流”，另一个是“动力流”。我们前面说到的自动控制，信号处理其实都属于“信息流”的范畴，解决的是大脑和神经的问题，而“动力流”，则是要解决肌肉问题。只有两个“流”处理好了，才能做出一个成功的工程。今天，我们就来说一说“动力流”的核心部件之一——电机。

电机（Electrical Machine）本质是一个能量转换装置（电能和机械能互换），包括电动机和发电机。工业中电动机更常见一些，因此狭义的电机通常是指电动机。

Source: Wikipediahttps://www.zhihu.com/video/1030261839673794560

上图展示的就是一个简易的电机，是由一节电池、一个螺钉、一根导线和一块磁铁以及扇叶组成，聪明的你能不能想明白扇叶为啥能转起来？（有好奇心的到后面找答案哦！）

上面的电机中，我们用到了一种叫电磁铁的东西，也就俗称的吸铁石，它是自然界中天然磁化的石头，这种石头可以魔术般的吸起小块的铁片，而且在随意摆动后总是指向同一方向。最早发现及使用磁铁的是中国人，并且利用磁铁制作了“指南针”，是中国四大发明之一。

那磁铁和永磁电机有什么关系呢？——永磁电机就是利用磁铁制作的电机，只不过磁铁这个名字不够高大上，专业术语一般叫“永磁体”。电现象和磁现象人类早就已经了解，但是直到 19 世纪，电学和磁学的研究仍处于很基础的阶段，而且绝大多数物理学家都认为电和磁是两种完全不同的现象。第一次工业革命后期，电磁学才逐渐合体并开始蓬勃发展起来，并催生了第二次工业革命——电力革命，这其中贡献最大的有这么几个人：奥斯特、安培以、法拉第以及高斯等，他们最重要的的工作都完成于 1820 年至 1831 年，最后由开了挂的麦克斯韦进行了总结并提出了完整的电磁理论。电机的基本理论和工程实现基本都是在这一时期成型的，因此要想学习电机，了解基本的电磁理论发展过程是非常有必要的。

一、电和磁到底有没有关系？——奥斯特：电流的磁效应

19 世纪以前，人们一直以为电与磁势完全不同的现象，没有什么联系，虽然有一些零星的物理现象暗示它们之间似乎有一些说不清道不明的关系。直到 1820 年 7 月，丹麦的物理学家奥斯特（H.C.Oersted，1777-1851）发表了一篇文章《关于磁针上电流碰撞的实验》，向科学界宣布了电流的磁效应——电和磁其实是一对 CP。

奥斯特的论文起源于一个很偶然的实验——在电池的两极之间接上一根很细的铂丝，在铂丝的下方放置一枚磁针，然后接通电源，很正常的操作，貌似没什么，但是现象却很令人吃惊——小磁针转动了，一直转到铂丝垂直的方向，改变电流方向，又发现小磁针向相反方向偏转。

Demonstrated by Prof. Oliver Zhttps://www.zhihu.com/video/1030181914262601728

奥斯特的发现揭示了长期以来认为性质不同的电现象与磁现象之间的联系，电磁学立即进入了一个崭新的发展时期，法拉第后来评价这一发现时说：“它猛然打开了一个科学领域的大门，那里过去是一片漆黑，如今充满光明。”人们为了纪念这位博学多才的科学家，从 1934 年起用“奥斯特”的名字命名磁场强度的单位。

奥斯特可能怎么也没有料到，从 1820 年 7 月发表电流的磁效应的文章后，仅仅经历了四个多月时间，电磁学就经历了从现象的总结到理论的归纳一次大飞跃，从而开创了电动力学的理论。而推动这一发展的，是一个我们非常熟悉的人——安培。

二、电如何产生磁？——安培定律

前面我们说到，能斯特发现了电流的磁效应，这个实验结果强烈震撼到了安培——一个被称之为“电学中牛顿”的大神。安德烈·玛丽·安培（André-Marie Ampère，1775 — 1836）出生于法国里昂，是我们学物理学的最早认识的科学家之一，因为电流的单位就是“安培”。

200 年前的科学界和现在也差不多，那就是一个热点文章发表后，总有一大群人蜂拥上来，发表灌水文章。安培在看到奥斯特的电流的磁效应的文章后，也立马开始了这一热点领域的研究。显然安培不属于灌水的这一类人，因为他不差名气和声望，驱使他前进的，是他对自然规律的好奇心。

安培通做电流做实验，发现长直导线外，到导线距离相等的点，“磁场”大小相同；距离不同的点，“磁场”大小随着距离成反比；“磁场”和电流大小以及导线的根数也成正比。我们不妨用 字母

来表示“磁场”的大小，则很容易得到：

或者更任性一点，我们可以定义沿半径为

的圆上，其“磁场”大小为：

当然，安培是不会满足于到此为止的，因为这实在算不上的什么重大发现——那不是圆怎么办，如果是任意曲线呢？——安培伟大的地方在于，他还真的将“圆”扩展到了任意曲线上。

安培定律完整的表述为：在恒定电流的磁场中，磁场强度

沿任何闭合路径

（即环路积分）的线积分等于其所包围的电流强度的代数和，写成数学的样子就是：

这个公式暗含一个结论，那就是磁场是由运动的电荷（即电流）产生的，安培认识到磁现象的本质是电流 ，把涉及电流、磁体的各种相互作用归结为电流之间的相互作用，提出了寻找电流元相互作用规律的基本问题。因此在电磁学中，把产生磁场的电流也叫磁动势或磁势（Magnetomotive Force），简写为 MMF，注意这是一个非常重要的概念，很多我们熟悉的磁场，都可以应用安培环路定理来计算。

三、磁如何产生电？——法拉第电磁感应定律

法拉第（Michael Faraday，1791-1867），英国的物理学家。法拉第可以说是实验物理学家的代表，一生做了无数次的实验，遍布整个电磁学领域，其中最具代表性的，就是电磁感应定律了：磁通量变化产生感应电动势。

电磁感应定律的定量描述为：线圈中感应的电动势（Electromotive Force），简称 EMF，与每匝线圈中磁通量的变化率以及匝数成正比，写成公式就是：

那么，问题就来了——什么是磁通量？其基本定义是：

简单来说就是磁通密度乘以面积，面积好理解，那磁通密度是什么？——与电场强度

是由单位点电荷受电场力类似，磁通密度可以根据运动电荷在磁场中所受到的磁场力来定义。实验发现：一个电荷

以速度

在均匀磁场中运动，会受到电磁力

，这个力和磁场的强弱是成正比的，即：

这个公式是洛伦兹公式的简化版，也就说，我们可以通过电荷大小、运动速度以及所受到的力来反推周围磁场的大小，这个磁场的大小就是磁通密度，也叫磁感应强度，单位是特斯拉（Tesla）。注意，磁通密度是电机中最重要的概念之一。

插点别的小知识：大家普遍认为，法拉第最牛逼的地方不在于他的实验，因为这些实验即使他不做，别人也能做，他最牛逼的地方在于他提出了“场”概念，这为什么牛逼呢？请看链接：

如何让普通人理解物理学中「场」的本质？

在一定程度上来说，没有法拉第，就没有麦克斯韦方程组——物理规律散落在法拉第大量实验结果里面，大家面面相觑，不知所以。然后麦克斯韦来了，手起刀落，简化到了 20 个方程，然后又由赫维赛德简化至 4 个公式，就是现在的麦克斯韦方程组。这就好比你上了一学期的课程，厚厚的满本书都是知识点，然后来了个牛逼的学霸，给你画了了个重点，一下子就剩几页了，就是这种感觉。对麦克斯韦方程组感兴趣的童鞋，可以阅读这篇文章：

J Pan：你也可以理解“麦克斯韦方程组”

1868 年，一个未曾受到学校教育的 21 岁年轻人在书店闲逛，看到一本破旧的法拉第著作《电学研究集》，如获至宝，将其买回，一一重做书上的实验，然后走上人生巅峰，你知道这位年轻人是谁吗？（来源：物語悟理）

格物致知－愛迪生

四、什么是 B-H 曲线

细心的童鞋会发现一些端倪：

• 在介绍安培环路定理的时候，我们说电流可以产生磁场，磁场的大小可以用 来表示：
• 在介绍法拉第电磁感应定律的时候，我们又说可以通过受力，来计算电荷感受到的磁场 。

都是磁场，为啥用两个量表示？他们是一回事吗？——首先，可以明确一点，这俩货量纲都不一致，肯定不是一回事。

我们一般把磁场密度

与磁场强度

之间的比值称之为磁导率：

磁导率描述的是电荷感受的磁场（输出）与电流产生的磁场（输入）的比值，描述前者随着后者的响应。既然是响应，就会有幅值响应和相位响应，所以本质上，磁导率是一个复数，只不过呢，在电机里面都是工作在低频段，相位滞后很小，可以忽略，一般只看幅值关系。

为什么介质中磁场输入和输出不一样呢？——因为介质有了响应。我们现在设想通过电流

，把磁场

加到某种材料当中，材料中的带电粒子受到磁场的响应，进而产生了一些附加磁场，在该点处的总磁场不再是

了。受外界磁场影响使得材料里也有内部额外磁场的过程，叫做“磁化”。

简而言之，

是外部的激发场，

是总的响应场，在电机里面，这两个量都非常重要，因为电机就是要考察电压、电流以及力矩之间的关系，而：

• 电流和 相关；
• 力矩和 相关；

因此，理解

和

的关系，是学习电机的一个非常必要的知识点。

现在假设我们用一个正弦的电流对介质进行磁化，电流（代表

）变化如左下图，得到介质中总的磁场（

）为右下图：

其中，

表示剩余磁通密度（Remanent Flux Density），简称剩磁；

表示矫顽力（Coercive Force），可见

和

并不是一个简单的线性关系，呈现出一个滞环，一般称之为磁滞曲线。

不同的材料代表不同的介质，其磁滞回线也不一样，如下图所示：

• 有的材料滞环较宽，也就是当励磁电流减为零后，总的磁场 仍保持在一个较大的值，我们称之为硬磁材料或永磁体。
• 有的材料滞环较窄，也就是当励磁电流减为零后，总的磁场 也基本减小到零，我们称之为软磁材料或导磁体。

五、什么是永磁同步电机

1821 年，法拉第制作了一个装置，这个装置能将电能转化成机械能，被认为是世界上第一台电动机。

法拉第的装置的组成非常简单：将水银注入一个圆形容器里面，中间放置一块永磁体，一根长的导线一端悬挂，另一端浸入容器里的水银里面，最后再外接一个直流电源。原理也很简单，永磁体产生的磁场与导线产生的磁场相互作用，产生一个使导线绕轴旋转的力。法拉第的天才之处在于想到了用水银（常温液体，有良好的导电性）解决了电机连续旋转的所需要的换向问题。

法拉第的电机验证了机电能量转换可以连续进行的，为电机的发展奠定了坚实的基础。当然现代电机和法拉第的电机模型有了较大的区别，但原理都是完全一致的：都是两个磁场相互作用。

5.1 电机原理的通俗理解

我们从小学就知道，磁铁分 N 极和 S 极，磁力线从 N 极出发，最后回到 S 极；磁铁同极相斥，异极相吸。磁铁磁极之间的相互作用示意图如下：

利用磁极之间的相互作用力，理论上我们可以移动一个磁极，让另外一个磁极跟着运动，如果第一个磁极旋转的话，另一个磁极也会跟着旋转。但是这样无法称之为电机，因为旋转一个磁极需要的是机械能，这样本质上是机械能之间的转换，不是电能和机械能之间的转换。那怎么办呢？

安培定律告诉我们，磁场本质是由电流产生的，我们想要的是磁场之间的相互作用，因此主要有电流即可，一个很自然的想法就是：能不能将两个磁场中的一个用线圈来产生呢？——当然可以，永磁同步电机就是这么干的，具体见下图：

我们一般将永磁体放在转子上，定子是一个线圈，线圈通电后，也会产生一个磁场。根据我们的直观感觉，很容易得出如下结论：

• 当两个磁场轴线正对着的时候（上图左），磁场之间有相互吸引力，这个力是径向的，不会产生转矩。
• 当两个磁场轴线有一定夹角的时候（上图中），磁场之间有相互吸引力，但是这个力既有径向分量，也有切向分量，因此会产生一定的转矩。
• 当两个磁场轴线垂直的时候（上图右），磁场之间有相互吸引力，但是这个力主要是切向分量，因此产生转矩最大。

可以做出如下猜想：对于旋转电机而言，由于其转矩是由两个磁场相互作用产生的，因此：

• 转矩的大小应该和两个磁场的大小是正相关的，磁场越强，转矩应该越大；
• 转矩的大小和两个磁场之间的夹角是正相关的，夹角为零时转矩为零，夹角 90°时转矩最大。

这些都是定性分析，对于工程师而言，我们需要的是定量的计算，那怎么算呢？

我们知道，数学中的叉乘运算

描述的是什么东西呢？——叉乘的结果和两个量的幅值成正比，和夹角正相关，这怎么和磁场产生转矩的那么相像，那是不是可以可以用叉乘来计算两个磁场相互作用产生的转矩呢？

磁场的本质是电流产生的，产生磁场的电流又叫磁动势，假如我们胆子更大一点，是不是可以进一步猜想：

其中

表示线圈磁动势，

表示永磁体磁动势。

也就是说电机转矩和线圈磁动势与永磁体磁动势的叉乘成正比。这么想是合理的，后面我们会有证明。

当然，真正的电机是不会直接拿线圈和永磁体直接相吸的，这样效率太低，一般是将线圈绕在磁轭上，磁轭是软磁体，起着导磁的作用，如下图所示。

5.2 电机的数学模型

电机就是一个能量转换装置，将电能转化成机械能，转换路径是电能

电磁能

机械能，要分析这个过程，其实就是解决三个方程的问题：

• 磁路分析——磁链方程
• 电路分析——电压方程
• 机械分析——转矩方程

下面我们就按照这个思路，看看如何分析一个永磁同步电机。

我们前面说了，电机产生转矩就是两个磁场相互作用，当个磁场都在连续旋转时，就产生了一个固定的旋转力矩。要产生旋转的磁场，就要有“旋转”的电流；要产生“旋转”的电流，就要有“旋转”的电压；同时旋转的磁场还会产生“旋转”的磁链，其示意图如下：

可以把电压、电流以及磁链都看成是旋转的矢量，其转速完全一致，相位不同。数学表达如下：

• 电压矢量：
• 电流矢量：
• 磁链矢量：

文章中，我们把旋转的矢量用加粗带箭头的符号表示，把矢量用只带箭头的符号表示。电压、电流以及磁链虽然以相同的速度在旋转，但是其相位还是有差别的，因此，我们有必要定义一个基准，把这个相位信息表达出来。在电机里面，为体现逼格，我们一般不叫 xy 轴，而是把永磁体所在的轴线称之为 d 轴（Direct Axis），也叫直轴，垂直于永磁体的轴线称之为 q 轴（Quadrature Axis），也叫交轴。d 轴和 q 轴相差 90°电角度，示意图如下：

至于什么是电角度，我们后面会说。

5.2.1 磁链方程

磁链表征着磁场的信息，对于永磁电机而言，转子一般是永磁体，所以只对定子线圈进行磁链计算即可。我们知道线圈磁链计算公式为：

是通过单个线圈的磁通，

是线圈的总匝数。

电机中的磁场来源可以分成两部分，一部分是线圈是产生的，另一部分是永磁体产生的。即：

其中

为线圈自身产生的磁链，

为永磁体产生的磁链。其向量图如下图所示。

对于线圈而言，专门有一个量来表征线圈自身产生磁链的能力——电感，单位为亨利（H），

电感定义为：

即单位电流产生的磁链，电感和电阻类似，虽然是通过磁链和电流来定义和计算的，但是其本质是由磁路的物理结构决定的，与电流没有关系（除非电流引起磁路饱和，相当于改变了磁路的物理结构）。

因此线圈产生的磁链可以表示为：

永磁体在线圈产生的磁链为：

5.2.2 电压方程

电机中磁路主要研究磁链方程，而电路主要研究电压平衡方程。忽略电机中的铁损及漏磁等，对于定子线圈，模型可简化成下图所示：

很容易得出：电路的外电压等于电阻损失电压与线圈感应电压之和，写成数学形式为：

• 将线圈的磁链分解成线圈电流产生磁链以及永磁体产生磁链：

其中：

假设磁路均匀，即电感是常值，令

，称之为同步电抗，则：

• 永磁体产产生的感应电势为：

此处也假设磁路均匀，则定子线圈总的感应电势为：

不难发现：

存在是因为线圈中电流变化，导致了

变换而其引起的，其大小可用电感来表征，因此称之为感生电势或者是变压器电势；

存在是因为永磁体产生的旋转磁场导致了线圈有效面积

发生改变而引起的，因此称之为动生电势或反电动势。线圈中总的感应电势即是感生电势和动生电势之和。

电压平衡方程的矢量形式为：

画成相量图的形式为：

图中

为动生电势（反电动势），

为感生电势（电感电势）。

注意：所有的相量都在旋转。

我们前面定义了：

• 电压矢量：
• 电流矢量：
• 磁链矢量：

将上式代入电压平衡方程可得：

对应的等效电路图为：

5.2.3 力矩方程

力矩是电机设计及控制中非常核心的一个量，一把书上要么是直接给出方程，要么是从能量转换的角度推导出，要么太粗暴，要么太复杂，都不太容易理解，今天，我们从能量守恒的角度来看一下，希望能减轻一下各位童鞋的负担。

电机，本质是一个能量转换装置，对于电动机来说，就是将电能转换成机械能。在复平面域，计算出的功率称之为复功率，与实数领域直接相乘略有不同，复平面对应的是电压相量与电流相量的内积：

代入电压平衡方程可得：

根据内积的定义

,这样就可以得到电机进行能量转换时的复功率：

方程的左边就是流入电机的瞬时功率，这个比较好理解，我们着重分析一下方程右边的两项分别代表什么意思。

第一项：

代表着电阻

在电流

下产生的功率，这个比较好理解，可以看成是热损耗，电机中绕组由于大都是铜线绕指的，一般也叫铜损，最终损耗掉了。

第二项：

，

由复数的计算规则：

进一步化简可得：

我们知道，对于复功率而言，实部是有功功率，虚部是无功功率。取这一项的实部即为有功功率，所以：

这个式子看着有点吓人，但是化简一下就简单明了了：

上式的右边看着是不是有什么规律呢？——

所以最终的有功功率非常简单：

式中

表示叉乘后的方向（含全面的符号），加上它是为了形式上一致，因为点乘后标量，叉乘后是矢量。

知道了有功功率，这个时候我们就很容易计算转矩了，假定转子的转速是

,则转子上的力矩为：

其中

为极对数，这一块很多童鞋是由迷惑的，我们说

为电角度，

为机械角度，它俩到底有什么关系？什么时候用电角度？什么时候用机械角度？

我们前面举例子时一般都是一对极，这样沿机械一周，电信号也变化一个周期，此时机械角度与电角度相同，即

；当极对数

大于 1 时，这样沿机械一周，电信号就会变化

个周期。下图给出了 3 对极和 6 对极时每个机械周期内（360°）电信号变化的情况。

可见，

。

由于

所以力矩还可以写成：

由于

，所以转矩还可以写成：

前面我们猜测：

在这里也可以得到证明，因为

，

。

5.3 DQ 坐标系下三大方程

前面我们所有的三大方程（磁链、电压、转矩）都是用矢量来表示的，形式是相当简洁的，但是考虑到大多人还是习惯标量的表示方法，而且矢量运算在计算机中也不容易实现，所以大多数教材上一般都是给出标量形式下的电机三大方程。

我们首先将电压、电流及磁链矢量投影到 dq 坐标系上：

带入到原始旋转矢量方程：

代入电压平衡方程可得：

化简可得：

• 则通过简单的数学运算，很容易得到 坐标下标量形式的磁链方程：

• 坐标下标量形式的电压方程：

画成相量图的形式如下：

• 坐标下矢量的力矩方程：

标量形式 力矩方程为：

进一步变形：

这就是教科书上最常见的形式了，这表明：永磁同步电机的力矩包含两个部分，一是

，这是由永磁体产生的力矩，一般称之为励磁力矩或对齐力矩（Alignment Torque）；另一部分

是由于磁路上磁阻不均匀（

）引起的，所以称之为磁阻力矩，如果磁路交直轴磁阻相等，则这部分力矩消失。

将

、

用电流幅值及角度进行表示，输出转矩为：

上式对

求导，并取导数为零，即可以得到转矩取极值时对应的

值：

，其中

上式中，位移的未知量是

，也就说有了测量到了电流值，就可以计算出

，从而获得最大的转矩——这就是最大转矩比电流控制（Maximum Torque per Ampere），简称 MTPA。

六、什么是电压极限圆和电流极限(椭)圆

我们令：

前面我们介绍了

坐标下电压方程为：

现在我们考虑稳态时情况，先忽略电阻

（通常比较小），稳态时

、

不再变化，因此电压平衡方程可以简化为：

为简单起见，先假定

则：

其中绿色为电压极限圆，红色为电流极限圆。电机的电压是由逆变器提供的，是有限制的，也就是说

，很显然能得出以下几个结论：

• 电压极限圆不是正好在电流坐标系的中心，偏置为 ;
• 转速越高，电压圆的半径越小；
• 电机必须工作在电压圆与电流圆同时覆盖的区域（截面线示意的部位）

当电机转速很低时，电压极限圆很大，电流极限是其主要约束，因此低速下电流可以一直保持在

为最大值状态，此时称之为恒转矩区，如下图所示的 T1 区。当转速继续上升时，电压和电流极限圆都成为约束，两者的交点处为工作点，如下图的 T2 和 T3 区，

开始出现分量，此时成为弱磁状态，即永磁体产生的磁场被

产生的磁场削弱了，进而在同样的电压下能够产生更高的转速。

上面讨论的是

（即隐极）的情况，当

时，电压方程变为：

电压极限圆变成了电压极限椭圆，如下图所示：

当电机做好之后，

，因此任意的

、

都会对应一个力矩值，我们把力矩相同的之用线连起来就得到一族等力矩曲线，如下图的三条黑色的等力矩线。

• 同一个等力矩的曲线会和不同的电流圆相切，产生一系列的切点，这些切点的轨迹就是 MTPA（最大力矩比电流）控制点，因为在一定的电流极限下，该切点是力矩最大的点。
• 同一个等力矩的曲线会和不同的电压椭圆相切，产生一系列的切点，这些切点的轨迹就是 MFPT（最大转速比力矩）控制点，因为在一定电压极限（电压代表着速度）下，该切点是速度最大的点。

七、旋转磁场是如何产生的

前面我们说了这么多，都有一个大前提：电机要连续旋转 ，一定要有一个旋转的磁场。那旋转磁场从何而来？

说到这我们不得不提一个人——尼古拉·特斯拉，关于特斯拉，有很多传说：

有人说，他预测出第一次、第二次世界大战；
有人说，他预见了泰坦尼克号的沉没；
有人说，他制造了通古斯大爆炸，威力是广岛核弹的 1000 倍；
有人说，他可以利用电磁，穿越时空；
有人说，FBI 将他的照片挂在机密大楼的头号位置。
……
《世界华人周刊》

2003 年，一个叫马斯克的科技狂人，创办了一家很酷的电动汽车企业，取名特斯拉。正是为了致敬他的偶像：尼古拉·特斯拉。今天我们就从一个小角度，来窥探一下特斯拉的伟大之处——交流电。

一个典型的永磁同步电机的绕组如上图所示，3 相绕组在空间 120°电角度布置，绕组里面分别通相位相差 120°的三相交流电：

那绕组中产生的磁动势是什么样子呢？

化简一下：

看到这个式子，可能有点人已经感觉到隐隐约约的美感了，如果你没感受到，请阅读一下小潘的另一篇文章：

J Pan：被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？

如果你还没看出来，我们用图像来演示一下前面的推理过程，可能会更形象一些：

也就是说，磁动势变成了一个旋转的矢量！

如果把坐标系放在电机里面，大概是这个样子：

好了，现在旋转的磁场已经产生了，它的表达式是这样：

那么新的问题来了，大多数人数学不好啊，不会复数计算啊，怎么办？这时候大神欧拉来了，用我的公式啊——好用，最主要还是免费的：

合成磁动势是一个复数，我们可以用欧拉公式转换一下：

也就说合成磁动势可以由两个空间和相位都差 90°的谐波组成。

整理一下思路：我们有一个三相绕组，空间和相位都差 120°，合成起来是一个旋转的磁动势，公式简洁漂亮，可是不好计算。我们用欧拉公式转换一下，发现用一个空间和相位都差 90°的亮相绕组可以完美等效，具体如下图：

这就是Clark 变换。

好了，现在我们有一个旋转的磁场了，也知道怎么等效计算了，但是感觉还是太复杂，我们能不能再偷点懒了？——如果我们站在一个坐标系里面，这个坐标系也在旋转，而且旋转的速度和合成磁动势一样，这时候再去观察磁动势，会是什么样？——一个常量，示意图如下：

这就是Park 变换。

A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一个比较好的关于 Laplace 变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。)
— —Arthur Mattuck (原 MIT 数学系主任)

学过控制的都知道拉氏变换(Laplace Transform)，其可以将微分方程转化为代数方程进行运算，使得求解大为简化。

但你们是不是也有这样的疑问：拉氏变换中的

是怎么来的？皮埃尔 – 西蒙·拉普拉斯^[1]当年为啥就能想出个这样的数学变换公式？

我是自从接触拉氏变换就一直有这样的疑问，直到有一天，看了 Arthur Mattuck ^[2]的微分方程才恍然大悟。更有意思的是，导师有一天也问了这样一个看似无厘头的问题，还好当时有所准备。

如果学过高等数学，都应该知道：一个幂级数可以写为如下形式：

将其展开其实就是：

如果将其中幂级数的系数

看成一组离散的函数，则上式

也可以写为：

通过把

看作一组关于变量

的离散函数，式

相当于描述了函数

的构造过程。

输入是离散函数数列

，输出则是由多项式构成的函数

。即，只要输入一个

数列，就可以输出一个函数

，其中，

是输出函数

的自变量。

现在，举一个例子，如果取

，即

，那么将得到输出为：

有人说式

最后等于

，但这么说其实不准确，因为并不是对于所有的

都成立，只有当它是一个收敛级数时才成立！

而式

中

的收敛域为

，所以当满足收敛条件时，式

可以改写为：

再举一个例子，如果

，即

，则有：

在这个例子里，对于任意 均成立，即收敛域为 。其实式 就是函数 在 处的泰勒展开，或者说是函数 的麦克劳林级数。

从上面的例子可以看出，取一个定义在正整数上的离散函数，然后进行无穷次的相加操作，结果却能够产生一个连续函数。而且注意其中的离散函数 的变量为 ，相加得出的却是关于变量 的连续函数。

现在，让离散求和变成连续求和，即不再是变量 ，而是另外定义一个变量 ，并且有 ，即 可以为 中的任意数。

如果想用 取替代 ，显然不能再用上面处理离散序列的办法进行求和，而是通过积分操作。即：

式 与式 的区别在于：用 取替代了 ；用积分符号替代了累加符号。

我们可以保留这种形式，但是没有数学家喜欢这样做，而且工程师也很少会这样做。因为在做微积分运算时，没有人希望其中有一个指数的底是 之类的积分或微分项，这看起来很头疼。而唯一方便的是取指数的底数为自然常数 。只有 才是人们喜欢用来积分或微分，因为 在微积分时可以保证自身不变函数，详见：《自然底数 e 怎么就“自然”了？》和《为什么 e^x 的导数是还是其自身？》。

因此，将以 为底数的指数替换成以 为底数的指数形式：

既然写出这个积分当然希望其可解，或者说收敛。而只有当 是一个小于 的数时，即自然指数函数的幂为负数时，该积分才有可能收敛，所以这里要求 。作为对数，还需要满足 （对数的详细介绍请见：《为什么说”对数”可以延长天文学家寿命？》），所以这里有 。显然，当 时， 。

这个变量看起来貌似有点复杂，我们何不再用一个符号去代替它呢？

那么就用 吧！

令 或 ，因为上面说了 ，取 的话， 就总为正数了，处理正数当然更符合人们的习惯。另外，用 代替 ，这样看上去更像我们熟悉的函数形式。这些替换只是为了修(hao)饰(kan)，现将这些替换代入式 中，得：

通过这种方式，我们得到了Laplace Transform！

如果用符号表示这种变换，可以将式 写为：

这就是 变换，当输入一个关于 的函数，将得到一个关于 的函数。

最后提一句，这里说的是变换，而对于一个算子来说，就不会是这样，变换和算子的最本质区别在于，经过算子运算，变量没有变，比如微分就是一种典型的算子。经过变换则会改变变量的形式，类似的例子可见：《如何给文科生解释傅里叶变换？》。

感谢邀请。正好借这个问题，重温一下计算器的历史。这些古老的器械闪烁着旧时代巧妙的智慧，只是不幸被更方便快捷的工具淘汰掉了。

——正文分割线——

在自然科学崛起让数学变得重要，而电子计算机又尚未出现的欧洲，人们用什么计算复杂的数据呢？——那当然是一些迷人的机械计算器。

第一个重要的辅助工具出现 1617 年，苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）发明了“纳皮尔的骨头”（Napier’s bones）——构造非常简单：一个方木盘左边写着行号，一大套算码的顶端写有编号，下面依次写着行号与编号的乘积。

这套工具主要用来计算乘法，计算时先用算码凑成一个因数，再根据行号读出与另一个因数每一位的乘积，格子里的斜线错位相加列在纸上，最后的总和仍要口算加法——显然，中国人根本不需要这样的工具，汉语的九九表实在太容易背诵了。

但约翰·纳皮尔的数学贡献不只是一副“骨头”，他还提出了对数概念：

若 ，则 x 等于 y 个 a 连乘。

乍看上去非常复杂，但如果不考虑直接计算，就会发现对数能化幂为乘除、化乘除为加减，实在美妙。

拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）因此赞叹道：“发明对数，把耗在计算上的时间减少了数天乃至数月，这倍加了，可以说，天文学家的寿命。“

然而对数表庞大得二郎神都会看花眼——而且大部分对数值不需最终保留。

牛津大学和剑桥大学很快在 1620 年到 1630 年之间发明了滑尺，将繁琐的数值改成直观的刻度，有效解决了这一问题。

仍以最简单的乘法来说：两根滑尺上的刻度是 1 到 10 的自然数的对数值，那么要计算 2×3，就只需滑动上方那根尺子，用 1 对齐 2，在右边找到 log2+log3 对应的刻度，果然是 log6。

对数尺让复杂计算变成对来对去——这就是中文“对数”一词的由来。在随后的两个世纪里，工程师和数学家不断为计算尺引入新的刻度，并添加了滑动的游标，可以计算乘除、乘方、幂次、三角函数等等复杂的计算，在 20 世纪 70 年代出现电子科学计算器以前，计算尺都是工程师的身份象征。

然而应用数学发展到这个地步，人们开始渴望一种能连加减都能免去的计算工具。

1642 年，法国数学家、物理学家和化学家帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）跨出了第一步，他的“帕斯卡计算器”（Pascal’s calculator）是一个长方形的黄铜盒子，上面开了一列读数窗，下面对应着一行带辐条和指针的齿轮。先持续转动齿轮逐位输入一个加数，这将显示在上方的读数窗里；再用同样的方式输入另一个加数，读数窗里就会显示出和了。

这是第一款不需要知道计算原理的计算器，意义非同小可。

在此基础上，德国的莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）于 1672 年到 1694 年之间发明了一种“步进计算器”（Stepped Reckoner），采用了他独创的“莱布尼兹轮”（Leibniz wheel）——把刻度播到几，齿轮就转几个齿，相当于数据输入功能。除了普通的乘除法，它还能计算结果在 10 的 16 次方以内的乘除法。

步进计算器奠定了欧洲机械计算器的研发基础。在 18 世纪，各种机械计算器在欧洲雨后春笋般的涌现出来。

终于到 1820 年，法国的“四则计算器”（Arithmometer）成为第一款商业化的办公计算器，在它的带动下，一大批台式机算器进入了会计师的办公室，许多品牌一直沿用到 20 世纪。

其中，19 世纪 70 年代以后的手摇式计算器流传最广——它用齿数可变的齿轮作为输入，用跳针制成精致的进退位机构，累加器也是一套齿轮，套在滑杆上左右移动反复加减以实现乘除法；滑杆上还有一个同样的寄存器记录乘除的因数；三套齿轮互相撩拨，可以胜任 9 位数的加减乘除四则运算，对于一般的财会计算相当适用。

然而拨号手摇也太费事了——机械计算器在 20 世纪开始大幅简化操作：按钮键盘开始代替拨号，并结合了打字纸带作为输出，会计除了按钮摇杆什么都不用做了。

到了战后，机械计算器利用电池驱动小马达走向了辉煌的巅峰：输入所需的算式，一按等号，计算器就能在纸带上给出完美的计算结果

然而刚刚进入 80 年代， 第四代电子计算机商用化了，机械计算器一夜之间在西方淘汰，对于今天的工程师来说，即便仅仅看懂它们的工作原理，也几乎成了绝学。

本回答的内容和截图来自节目《计算机之前的计算机 | 混乱博物馆》

计算机之前的计算机 https://www.zhihu.com/video/1139567520880173056

出来办事，在一条小巷里等朋友，旁边有两个小男孩在玩耍打闹，一小口一小口地喝着手里的汽水，有个老奶奶手里拿着一个空塑料瓶一晃一晃地走过来，翻翻旁边的垃圾堆，此时，两小男孩停止了打闹，不约而同地仰头喝光了汽水，把瓶子递给了老奶奶。

看到这里，心生温暖，如沐春风。

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